Лекция 8 План лекции 8 Контрольные вопросы Теорема отсчетов Дискретное преобразование Фурье Спектральная плотность мощности Дополнение последовательности. - презентация

1 лекция 8 План лекции 8 Контрольные вопросы Теорема отсчетов Дискретное преобразование Фурье Спектральная плотность мощности Дополнение последовательности нулями

2 лекция 8 Спектр сигнала после дискретизации г) 0 t x(t) t u(t) -2T -T 0 T 2T 3T a) б) в) -2T -T 0 T 2T 3T t x(n)=x(t)u(nT) -Fo 0 Fo f f U(f) F=1 / T-F X(f) X u (f)=X(f)*U(f) F -F 0 0 F 0 F f

3 лекция 8 Восстановление сигнала после дискретизации -1/F 1/F t H(f) -F/2 0 F/2 f h(t)=sin( Ft)/ t Для того, чтобы восстановить исходный временной сигнал по его отсчетам, можно пропустить дискретизированный сигнал через идеальный фильтр нижних частот с прямоугольной частотной характеристикой и импульсной характеристикой вида

4 лекция 8 Теорема отсчетов Котельникова Теорема отсчетов: сигнал с ограниченным спектром при |f| > F 0 может быть точно восстановлен с помощью интерполяционной формулы по бесконечному числу известных временных отсчетов, взятых с частотой Минимальная частота отсчетов при которой сигнал может быть восстановлен без искажений получила название частоты отсчетов Найквиста (или Котельникова) по имени исследователя, благодаря усилиям которого теорема отсчетов стала важнейшим положением теории связи и цифровой обработки сигналов

5 лекция 8 Дискретное преобразование Фурье Свойство: преобразование Фурье функции времени в виде периодической дискретной последовательности должно представлять собой периодическую импульсную (дискретную) последовательность в частотной области Пусть x(t) - временной сигнал, спектр которого X(f) периодичен с периодом W Тогда X(f)= X W (f) U(f)/W где

6 лекция 8 Дискретное преобразование Фурье Временной сигнал, соответствующий такому спектру запишется Таким образом, временной сигнал x(t), имеющий периодический спектр, должен быть последовательностью импульсов, амплитуды которых равны x W (t) - обратному преобразованию Фурье одного периода спектра X(f). Амплитуды этих импульсов можно представить как функции дискретного времени x(n)=x W (n/W)/W

7 лекция 8 Дискретное преобразование Фурье Сигнал и спектр можно определить по формулам: Это формула прямого дискретного преобразования Фурье (ДПФ), с помощью которой можно рассчитать спектр дискретного сигнала

8 лекция 8 Дискретное преобразование Фурье конечной последовательности Перепишем обратное ДПФ для дискретной последовательности, имеющей период,в виде Из свойства периодичности экспоненциальных функций следует

9 лекция 8 Дискретное преобразование Фурье конечной последовательности Следовательно можно записать Конечное прямое ДПФ запишется Вывод: коэффициенты ДПФ последовательности конечной длины однозначно представляют саму последовательность, т.к. по ним можно точно восстановить исходную последовательность, используя обратное ДПФ

10 лекция 8 Энергетический спектр и спектральная плотность Энергетический спектр дискретной последовательности Соотношение для спектральной плотности мощности дискетного сигнала

11 лекция 8 Дополнение последовательности нулями Пусть имеющиеся отсчеты данных дополнены еще N значениями ДПФ этой 2N - точечной последовательности данных будет определяться соотношением Пусть r=2l, тогда

12 лекция 8 Дополнение последовательности нулями Интерполяция в частотной области за счет дополнения нулями