Бер Л.М. Дифференциальное исчисление ТПУ Рег. 283 от 25.11.2009 Company Logo Дифференциальное исчисление Задача 2. Пусть (t) есть количество вещества прореагировавшего. - презентация

1 Бер Л.М. Дифференциальное исчисление ТПУ Рег. 283 от Company Logo Дифференциальное исчисление Задача 2. Пусть (t) есть количество вещества прореагировавшего за время t. В момент времени t+ t количество вещества будет (t+ t), т.е. за промежуток времени (t, t+ t) количество прореагировавшего вещества = (t + t) – (t). Средняя скорость химической реакции за интервал времени t будет равна / t. Чтобы найти скорость химической реакции в данный момент времени t надо устремить t к нулю, то есть Таким образом, производная от количества прореагировавшего вещества определяет скорость химической реакции.

2 Бер Л.М. Дифференциальное исчисление ТПУ Рег. 283 от Company Logo 0 y x x f (x)f (x) y=f (x) x + x x f (x + x) y

3 Бер Л.М. Дифференциальное исчисление ТПУ Рег. 283 от Company Logo Производная функции Определение. Если существует предел отношения приращения функции f(x) к приращению аргумента x, при стремлении приращения аргумента к нулю, то он называется производной функции в точке x. Обозначения: y, f (x) или,. Определение. Функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке. Функция, называется дифференцируемой в промежутке, если она дифференцируема в каждой точке этого промежутка.

4 Бер Л.М. Дифференциальное исчисление ТПУ Рег. 283 от Company Logo Физический смысл производной Производная характеризует скорость изменения функции в зависимости от изменения аргумента (скорость процесса в любой момент времени). С геометрической точки зрения дифференциру- емость означает, что к графику функции в данной точке можно провести единственную невертикальную касательную.

5 Бер Л.М. Дифференциальное исчисление ТПУ Рег. 283 от Company Logo Геометрический смысл производной

6 Бер Л.М. Дифференциальное исчисление ТПУ Рег. 283 от Company Logo Касательная и нормаль Определение. Касательной к графику функции в точке М 0 (x 0, y 0 ) назовем предельное положение секущей М 0 М, когда точка М, двигаясь вдоль кривой, стремиться к совпадению с точкой М 0. Уравнение касательной к графику функции в точке М 0 (x 0, y 0 ):. Прямая, проведенная через точку касания, перпендикулярно касательной к графику функции, называется нормалью. Уравнение нормали к графику функции в точке М 0 (x 0, y 0 ):

7 Бер Л.М. Дифференциальное исчисление ТПУ Рег. 283 от Company Logo Односторонние производные Определение. Если функция y = f (x) определена в левосторонней (правосторонней) окрестности точки x 0 и существует то он называется производной от функции в точке x 0 слева, а производной в той же точке справа.

8 Бер Л.М. Дифференциальное исчисление ТПУ Рег. 283 от Company Logo Теорема 1. (Необходимое и достаточное условие существования производной в точке) Функция y = f (x) имеет производную в точке тогда и только тогда когда в этой точке существуют и равны между собой производные функции слева и справа, причем. Теорема 2. (Связь между дифференцируемостью функции в точке и ее непрерывностью в этой точке) Если функция y = f (x) имеет производную в точке x 0, то она в этой точке непрерывна.

9 Бер Л.М. Дифференциальное исчисление ТПУ Рег. 283 от Company Logo Правила дифференцирования Теорема 3. Пусть f (x) и g (x) дифференцируемые функции и с константа, тогда справедливы соотношения 1. [c f (x)] = c f (x). 2. [ f (x) g (x) ] = f (x) g (x). 3. [ f (x) g (x) ] = f (x) g (x) + f (x) g (x). 4..

10 LOGO Спасибо за внимание