§4. Непрерывность функции 1. Основные определения Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f(x) называется непрерывной. - презентация

1 §4. Непрерывность функции 1. Основные определения Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0 если справедливо равенство Замечания. 1)В силу теоремы 5 §3 равенство (1) можно записать в виде Условие (2) – определение непрерывности функции в точке на языке односторонних пределов. 2) Равенство (1) можно также записать в виде: Говорят: «если функция непрерывна в точке x 0, то знак предела и функцию можно поменять местами».

2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 (на языке - ). Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0 если >0 >0 такое, что еслиx U(x 0, ) (т.е. | x – x 0 | < ), то f(x) U(f(x 0 ), ) (т.е. | f(x) – f(x 0 ) | < ). Пусть x, x 0 D( f ) (x 0 – фиксированная, x – произвольная) Обозначим: x = x – x 0 – приращение аргумента f(x 0 ) = f(x) – f(x 0 ) – приращение функции в точке x 0 ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 (геометрическое). Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0 если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.

3 Пусть функция f(x) определена на промежутке [x 0 ; x 0 + ) (на промежутке ( x 0 – ; x 0 ] ). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0 справа (слева), если справедливо равенство Очевидно, что f(x) непрерывна в точке x 0 f(x) непрерывна в точке x 0 справа и слева. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f(x) называется непрерывной на интервале (a; b) если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a; b] если она непрерывна на интервале (a; b) и имеет одностороннюю непрерывность в граничных точках (т.е. непрерывна в точке a справа, в точке b – слева).

4 СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ Пусть X = {x 0 } или X = (a; b) или X = [a; b]. 1)Сумма, разность и произведение конечного числа непрерывных на множестве X функций является функцией непрерывной на X. 2)Если функции f(x) и g(x) непрерывны на X и g(x) 0, x X, то частное f(x)/g(x) – непрерывная на множестве X функция. 3)Пусть f: X Y, : Y Z. Если f(x) непрерывна на X, (x) – непрерывна на Y, то сложная функция (f(x)) непрерывна на X. Свойства 1, 2, 3, следуют из свойств пределов функций.

5 4) Основные элементарные функции непрерывны всюду в своей области определения. Если функция непрерывна всюду в области определения, то ее называют непрерывной. 5)Элементарные функции непрерывны (следствие свойств 1– 4)

6 2. Точки разрыва и их классификация ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0, но не является непрерывной в этой точке, то f(x) называют разрывной в точке x 0, а саму точку x 0 называют точкой разрыва функции f(x). Замечания. 1)f(x) может быть определена в неполной окрестности точки x 0. Тогда рассматривают соответствующую одностороннюю непрерывность функции. 2)Из определения точка x 0 является точкой разрыва функции f(x) в двух случаях: а) U(x 0, ) D(f), но для f(x) не выполняется равенство б) U * (x 0, ) D(f). Для элементарных функций возможен только случай б).

7 Пусть x 0 – точка разрыва функции f(x). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка x 0 называется точкой разрыва I рода если функция f(x) имеет в этой точке конечные пределы слева и справа. Если при этом эти пределы равны, то точка x 0 называется точкой устранимого разрыва, в противном случае – точкой скачка. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка x 0 называется точкой разрыва II рода если хотя бы один из односторонних пределов функции f(x) в этой точке равен или не существует.

8 3. Свойства функций, непрерывных на отрезке ТЕОРЕМА 1 (Вейерштрасса). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b]. Тогда 1) f(x) – ограничена на [a; b] ; 2) f(x) принимает на [a; b] свое наибольшее и наименьшее значения. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Значение функции m = f(x 1 ) называется наименьшим, если m f(x), x D(f). Значение функции M = f(x 2 ) называется наибольшим, если M f(x), x D(f). Замечание. Наименьшее (наибольшее) значение функция может принимать в нескольких точках отрезка.

9 ТЕОРЕМА 2 (Коши, о промежуточных значениях). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и – число, заключенное между f(a) и f(b). Тогда существует хотя бы одна точка x 0 [a; b] такая, что f(x 0 ) =. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СЛЕДСТВИЕ 1 (теоремы Больцано - Коши). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и на его концах принимает значения разных знаков, то на (a; b) существует хотя бы одна точка, в которой функция обращается в ноль. СЛЕДСТВИЕ 2 (теорем Коши и Вейерштрасса). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то множеством ее значений является отрезок [m; M], где m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a; b].