Лектор Пахомова Е.Г. 2011 г. Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Двойной интеграл (определение, свойства, вычисление) - презентация

1 Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Двойной интеграл (определение, свойства, вычисление)

2 Глава II. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы §7. Двойной интеграл 1. Задача, приводящая к понятию двойного интеграла Цилиндрическим телом с основанием (σ) называют область в пространстве, ограниченную областью (σ) xOy, поверх- ностью z = f(x,y) и цилиндрической поверхностью φ(x,y) = 0, направляющей которой является граница области (σ).

3 ЗАДАЧА (об объеме цилиндрического тела). Пусть f(x,y) 0, (x,y) (σ). Найти объем V цилиндрического тела (V).

4 2. Определение и свойства двойного интеграла Пусть (σ) – квадрируемая (т.е. имеющая площадь) область в плоскости xOy, и в области (σ) задана функция z = f(x,y). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. 1.Разобьем область (σ) произвольным образом на n частей, не имеющих общих внутренних точек: (Δσ 1 ), (Δσ 2 ), …, (Δσ n ). 2.В каждой области (Δσ i ) выберем произвольную точку P i (ξ i ;η i ) и вычислим произведение f(P i ) · Δσ i, где Δσ i – площадь области (Δσ i ). Сумму назовем интегральной суммой для функции f(x,y) по области (σ) (соответствующей данному разбиению области (σ) и данному выбору точек P i ).

5 Диаметром множества G будем называть наибольшее расстояние между любыми двумя точками множества G. Пусть d i – диаметр (Δσ i ), Число I называется пределом интегральных сумм I n (Δσ i,P i ) при 0, если для любого >0 существует >0 такое, что для любого разбиения области (σ) у которого

6 ТЕОРЕМА 1 (необходимое условие существования двойного интеграла). Если функция f(x,y) интегрируема в области (σ), то она ограничена в этой области. ТЕОРЕМА 2 (достаточные условия существования двойного интеграла). Если выполняются условия: 1) область (σ) – квадрируемая, 2)функция f(x,y) ограничена в области (σ) и непрерывна всюду за исключением некоторого множества точек площади нуль, то f(x,y) интегрируема в области (σ).

7 СВОЙСТВА ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 1) Геометрический смысл двойного интеграла. Если f(x,y) – неотрицательна и интегрируема в области (σ), то где V – объем цилиндрического тела с основанием (σ) и ограниченного сверху поверхностью z = f(x,y). где σ – площадь области (σ). 3)Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла, т.е.

8 4)Двойной интеграл от алгебраической суммы двух (конечного числа) функций равен алгебраической сумме двойных интегралов от этих функций, т.е. 5)Если область интегрирования (σ) разбита на две части (σ 1 ) и (σ 2 ), не имеющие общих внутренних точек, то (свойство аддитивности двойного интеграла)

9 6) Если всюду в области (σ) f(x,y) > 0 (f(x,y) 0), то 7) Если всюду в области (σ) f(x,y) (x,y), то ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно 8)Следствие свойств 7 и 2. Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x,y) в области (σ), то где σ – площадь области (σ).

10 9)Теорема о среднем для двойного интеграла. Если функция f(x,y) непрерывна в замкнутой и ограниченной области (σ), то найдется такая точка P 0 (x 0,y 0 ) (σ), что справедливо равенство где σ – площадь области (σ ). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно

11 3. Вычисление двойного интеграла Назовем область (σ) правильной в направлении оси Oy (Ox), если любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области (σ) параллельно оси Oy (Ox) пересекает границу области в двух точках, причем, каждая из пересекаемых границ задается только одним уравнением.

12 ТЕОРЕМА 3. Пусть функция f(x, y) интегрируема в области (σ). 1)Если область (σ) – правильная в направлении оси Oy, то где y = 1 (x), y = 2 (x) – уравнения кривых, ограничиваю щих область (σ) снизу и сверху соответственно, [a;b] – проекция области (σ) на ось Ox. 2) Если область (σ) – правильная в направлении оси Ox, то где x = f 1 (y), x = f 2 (y) – уравнения кривых, ограничивающих область (σ) слева и справа соответственно, [c;d] – проекция области (σ) на ось Oy.

13