§6. Поверхностный интеграл II рода (по координатам) 1. Односторонние и двусторонние поверхности Пусть (S) – гладкая поверхность в пространстве Oxyz, M. - презентация

1 §6. Поверхностный интеграл II рода (по координатам) 1. Односторонние и двусторонние поверхности Пусть (S) – гладкая поверхность в пространстве Oxyz, M – любая точка на (S). 1)Проведем в M нормаль (вектор, перпендикулярный к касательной плоскости) к (S). 2)Выберем одно из двух направлений нормали.

2 3) Непрерывно перемещаем M вместе с выбранной нормалью вдоль любой замкнутой кривой () на (S), не пересекающей ее границу Если в прежнее положение точка M вернется с тем же направлением нормали (для любой точки M и любой кривой ()), то поверхность называют двусторонней

3 Если в прежнее положение точка M вернется с противоположным направлением нормали (хотя бы для одной точки M и хотя бы одной кривой ()), то поверхность называют односторонней

4 2. Определение и свойства поверхностного интеграла II рода Пусть (S) – двусторонняя поверхность, с выбранным направлением нормали (т.е. стороной) и на (S) задана функция R(x,y,z). 1.Разобьем область (S) произвольным образом на n частей, не имеющих общих внутренних точек: (ΔS 1 ), (ΔS 2 ), …, (ΔS n ). 2.В каждой области (ΔS i ) выберем произвольную точку M i (ξ i ;η i ;ζ i ). 3.Обозначим через ΔS i(xy) – площадь проекции (ΔS i ) на плоскость xOy, взятую со знаком «+», если выбранное на (S) направление нормали в точке M i составляет с осью Oz острый угол, и со знаком «–» в противном случае. 4.Вычислим произведение R(M i ) · ΔS i(xy).

5 Пусть d i – диаметр (ΔS i ), назовем интегральной суммой для функции R(x,y,z) по поверхности (S) по переменным x и y (соответствующей данному разбиению области (S) и данному выбору точек M i ). Сумму

6 Обозначают: Сумму записывают в виде и называют поверхностным интегралом II рода (по координатам). Аналогично определяются интегралы

7 СВОЙСТВА ПОВЕРХНОСТНОГО ИНТЕГРАЛА II РОДА Замечание: предполагаем, что все рассматриваемые в свойствах интегралы существуют. 1.Поверхностный интеграл II рода зависит от стороны поверхности (т.е. от выбора нормали). При перемене стороны поверхности (S) поверхностный интеграл II рода меняет знак. 2. Постоянный множитель можно выносить за знак поверхност- ного интеграла II рода, т.е.

8 3. Поверхностный интеграл II рода от алгебраической суммы двух (конечного числа) функций равен алгебраической сумме криволинейных поверхностных II рода от этих функций, т.е. 4.Если поверхность (S) разбита на две части (S 1 ) и (S 2 ), не имеющих общих внутренних точек, то (свойство аддитивности поверхностного интеграла II рода).

9 5.Если (S) – цилиндрическая поверхность с образующими, па- раллельными оси Ox (т.е. имеющая уравнение φ(y,z)=0), то Если (S) – цилиндрическая поверхность с образующими, па- раллельными оси Oy (т.е. имеющая уравнение ψ(x,z)=0), то Если (S) – цилиндрическая поверхность с образующими, па- раллельными оси Oz (т.е. имеющая уравнение χ(x,y)=0), то

10 3. Вычисление поверхностного интеграла II рода Пусть (S) – двусторонняя поверхность, заданная уравнением z = f(x,y), (σ xy ) – проекция (S) на плоскость xOy, квадрируемая область f(x,y) – непрерывна в области (σ xy ), R(x,y,z) – непрерывна на (S). Выберем верхнюю сторону поверхности (т.е. угол между нормалью к поверхности и осью Oz острый). Тогда: Выберем нижнюю сторону поверхности (т.е. угол между нормалью к поверхности и осью Oz тупой). Тогда:

11 Аналогично вычисляются интегралы ТЕОРЕМА 1 (достаточные условия существования поверх- ностного интеграла II рода). Если (S) – двусторонняя поверхность, состоящая из конечного числа явно заданных поверхностей z = f i (x,y), R(x,y,z) – кусочно-непрерывна на (S), f i (x,y) – кусочно-непрерывна в области (σ) (проекции поверхности (S) на плоскость xOy), то поверхностный интеграл II рода существует. Аналогичные утверждения справедливы и для интегралов

12 4. Формула Остроградского – Гаусса Пусть (V) кубируемое цилиндрическое тело, ограниченное поверхностями(S 1 ): z = f 1 (x,y) (низ), (S 2 ): z = f 2 (x,y) (верх), (S 3 ): φ(x,y) = 0 (боковая поверхность), функции f 1 (x,y) и f 2 (x,y) непрерывны в квадрируемой области (σ xy ) xOy (проекции (V) на плоскость xOy), R(x,y,z) и R z (x,y,z) кусочно-непрерывны и ограничены в области (V)

13 Получили Аналогично получаем: В общем случае: – формула Остроградского – Гаусса.