Лектор Пахомова Е.Г. 2011 г. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Основные понятия теории числовых рядов. - презентация

1 Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Основные понятия теории числовых рядов

2 Глава III. Числовые ряды §14. О О О Основные понятия теории числовых рядов 1. Основные определения Пусть задана числовая последовательность {u n } ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Выражение вида u 1 + u 2 + … + u n + … = называют числовым рядом. При этом, члены последовательности {u n } называются члена- ми ряда (1-м, 2-м, …, n-м (общим членом) )

3 Если начиная с некоторого номера N для членов ряда справедливо равенство u N = u N + 1 = u N + 2 = … = 0, то ряд называют конечным. В противном случае ряд называется бесконечным. Ряд u n называют знакоположительным, если u n 0, n ; знакоотрицательным, если u n 0, n ; знакопостоянным, если он знакоположительный или знакоотрицательный; знакопеременным, если он содержит бесконечное число как положительных, так и отрицательных членов.

4 Для ряда u n запишем последовательность S 1 = u 1, S 2 = u 1 + u 2, …, S n = u 1 + u 2 + … + u n, … Числа S 1, S 2, …, S n называют частичными суммами ряда u n (1-й, 2-й, …, n-й ). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ряд u n называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм { S n }. При этом, число называют суммой ряда u n. Если то говорят, что ряд u n расходится и не имеет суммы. Если S – сумма ряда u n, то записывают: u n = S.

5 ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ РЯДОВ 1) Рассматривается в математическом анализе: Определить, сходится или расходится заданный ряд (говорят: «исследовать ряд на сходимость») 2) Рассматривается в вычислительной математике: Найти сумму сходящегося ряда. Найти точное значение суммы S сходящегося ряда удается редко. Обычно полагают S S n где n выбирают так, чтобы | R n | = | S – S n | < ( заранее задано). Число R n называют остатком ряда.

6 2. Основные свойства числовых рядов ТЕОРЕМА 1. Поведение ряда относительно сходимости не изменится, если добавить (отбросить) конечное число членов ряда. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОПРЕДЕЛЕНИЕ. 1) Произведением ряда u n на число c называется ряд c u n. 2) Суммой (разностью) рядов u n и v n называется ряд (u n + v n ) [ (u n – v n ) ]. ОБОЗНАЧАЮТ: c u n – произведение ряда на число c ; u n v n – сумма (разность) рядов u n и v n

7 ТЕОРЕМА 2 (об арифметических действиях над сходящимися рядами) Еслиряд u n сходится и его сумма равна U, ряд v n сходится и его сумма равна V, то а) ряд cu n – сходится и его сумма равна cU ( c ); б) ряд (u n v n ) – сходится и его сумма равна U V. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СЛЕДСТВИЯ теоремы 2. 1) Если u n расходится, то c 0 ( c ) ряд cu n – тоже расходится. 2) Если ряд u n сходится, а ряд v n расходится, то ряд (u n v n ) – расходится..

8 ТЕОРЕМА 3 (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд u n сходится, то ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СЛЕДСТВИЕ теоремы 3 (достаточное условие расходимости ряда) Если, то ряд u n расходится. ТЕОРЕМА 4 (закон ассоциативности для сходящихся рядов). Пусть ряд u n сходится и его сумма равна U Если сгруппировать члены этого ряда, НЕ ИЗМЕНЯЯ ИХ ПОРЯДКА, то полученный в результате этого ряд будет сходиться и иметь ту же сумму U.