Лектор Пахомова Е.Г. 2011 г. Математический анализ Раздел: Теория функций комплексного переменного Тема: Ряды в комплексной плоскости (числовые, функциональные) - презентация

1 Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Теория функций комплексного переменного Тема: Ряды в комплексной плоскости (числовые, функциональные)

2 § 7. Ряды в комплексной плоскости 1. Числовые ряды Пусть задана последовательность комплексных чисел {z n } = {x n + iy n }. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Выражение вида z 1 + z 2 + … + z n + … = называют комплексным числовым рядом. При этом, члены последовательности {z n } называются члена- ми ряда (1-м, 2-м, …, n-м (общим членом) ) Построим последовательность S 1 = z 1, S 2 = z 1 + z 2, …, S n = z 1 + z 2 + … + z n, … Числа S 1, S 2, …, S n называют частичными суммами ряда z n (1-й, 2-й, …, n-й ).

3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ряд z n называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм { S n }. При этом, число называют суммой ряда z n. Если то говорят, что ряд z n расходится и не имеет суммы. Пусть задан ряд z n = (x n + iy n ) Имеем: z n x n, y n, | z n |. ТЕОРЕМА 1 (о связи сходимости рядов (x n + iy n ), x n, y n ). Ряд z n = (x n + iy n ) сходится к z = x + iy сходятся ряды x n, y n, причем x – сумма ряда x n, y – сумма ряда y n.

4 Из теоремы 1 следует, что все свойства действительных числовых рядов остаются справедливыми для комплексных числовых рядов: 1)Поведение ряда относительно сходимости не изменится, если добавить (отбросить) конечное число членов ряда. 2)Если ряд z n сходится и его сумма равна z, ряд w n сходится и его сумма равна w, то а) ряд (z n w n ) – сходится и его сумма равна z w ; б) ряд cz n – сходится и его сумма равна cz ( c 0 ). 3)Если ряд z n сходится, то (необходимый признак сходимости ряда) 4) В любом сходящемся ряде, любая группировка членов ряда, не изменяющая их порядок, сохраняет сходимость ряда и величину его суммы (закон ассоциативности для рядов).

5 ТЕОРЕМА 2 (признак абсолютной сходимости) Если ряд | z n | сходится, то ряд z n тоже сходится. ОПРЕДЕЛНИЕ. Ряд z n называют абсолютно сходящимся, если его ряд модулей | z n | сходится. Если ряд z n – сходится, а его ряд модулей |z n | – расходится, то ряд z n называют условно сходящимся. ТЕОРЕМА 3 (о связи абсолютной сходимости рядов (x n + iy n ), x n, y n ). Ряд z n = (x n + iy n ) сходится абсолютно ряды x n, y n сходятся абсолютно.

6 Из теоремы 3 следует, что все свойства действительных абсолютно сходящихся числовых рядов остаются справедливыми для абсолютно сходящихся комплексных числовых рядов: 1)Если ряды z n и w n сходятся абсолютно, то ряд (αz n βw n ) тоже сходится абсолютно ( α,β ). 2)Если ряд z n сходится абсолютно, то ряд, полученный из него в результате перестановки членов, также сходится абсолютно и имеет ту же сумму. Если ряд z n сходится условно, то можно так переставить члены ряда, что сумма получившегося ряда будет равна любому, заранее заданному числу. Более того, можно так переставить члены ряда, что получившийся ряд будет расходиться.

7 2. Функциональные ряды Пусть задана последовательность фкп {f n (z)} с общим множеством определения D. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Выражение вида f 0 (z) + f 1 (z) + … + f n (z) + … = называют комплексным функциональным рядом. При этом, члены последовательности {f n (z)} называются членами ряда (0-м, 1-м, …, n-м (общим членом) ). Пусть z 0 D. Рассмотрим числовой ряд f n (z 0 ). Если ряд f n (z 0 ) сходится, то говорят, что ряд f n (z) сходится в точке z 0. МножествоD 1 ={ z 0 D | f n (z 0 ) –сходится} называют областью сходимости функционального ряда f n (z).

8 Функция f(z), определенная на множестве D 1 и такая, что ее значение в любой точке z 0 D 1 совпадает с суммой числового ряда f n (z 0 ), называется суммой функционального ряда f n (z) (1-е определение суммы функционального ряда). Построим последовательность S 1 (z) = f 1 (z), S 2 (z) = f 1 (z)+f 2 (z), …, S n (z) = f 1 (z)+f 2 (z)+…+ f n (z), … Функции S 1 (z), S 2 (z), …, S n (z) называются частичными суммами ряда f n (z). МножествоD 2 ={ z 0 D | {S n (z 0 )} –сходится} называют областью сходимости функциональной последовательности {S n (z)}. Функция f(z), определенная на множестве D 2 и такая, что ее значение в любой точке z 0 D 2 совпадает с пределом последовательности {S n (z 0 )}, называется пределом функциональной последовательности {S n (z)}.

9 Из определения суммы числового ряда, получаем: а)D 1 =D 2 ; б)Предел функциональной последовательности {S n (z)} есть сумма ряда f n (z) (2-е определение суммы функциональ- ного ряда). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Комплексный функциональный ряд f n (z) называется равномерно сходящимся к f(z) на множестве H D 1, если >0 N такой, что | S n (z) – f(z) | N и z H ТЕОРЕМА 4 (критерий Коши равномерной сходимости ряда). Ряд f n (z) сходится равномерно на множестве H к функции f(z) >0 N такой, что | S n+k (z) – S n (z) | = | f n+1 (z) + … + f n+k (z) |N и z H.

10 ТЕОРЕМА 5 (признак равномерной сходимости Вейерштрасса). Если ряд f n (z) мажорируется на H сходящимся числовым рядом a n, то он сходится на H равномерно. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что функциональный ряд f n (z) мажорируется на множестве H числовым рядом a n, если | f n (z) | < a n, n. СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ КОМПЛЕКСНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ 1)Если f n (z) сходится на множестве H равномерно и (z) – ограничена на H, то ряд (z)f n (z) тоже сходится на H равномерно. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно

11 2)Пусть f n (z) сходится к f(z) на множестве H равномерно, z 0 H и существуют Тогда: а) числовой ряд c n сходится; б) сумма ряда c n равна Иначе говоря, 3)Если ряд f n (z) сходится на множестве H равномерно и в точке z 0 H все функции f n (z) непрерывны, то сумма ряда f(z) тоже непрерывна в точке z 0.

12 4) Если функции f n (z) непрерывны на кусочно-гладкой кривой (AB) и ряд f n (z) сходится на (AB) равномерно к f(z), то этот ряд можно почленно интегрировать вдоль кривой f(z), т.е. справедливо равенство 5) Если функции f n (z) аналитичны в области H и ряд f n (z) сходится в H равномерно, то его сумма f(z) тоже является функцией аналитической в H.

13 6) Если функции f n (z) аналитичны в области H и ряд f n (z) сходится к f(z) в H равномерно, то этот ряд можно в H дифференцировать почленно любое число раз, т.е. справедливо равенство Замечание. Для почленного дифференцирования действительного функционального ряда требуется более сильное условие – равномерная сходимость ряда производных.