Математический анализ Раздел: ФКП Тема: Вычеты. Основная теорема о вычетах (основная теорема о вычетах, применение вычетов ) Лектор Пахомова Е.Г. 2010. - презентация

1 Математический анализ Раздел: ФКП Тема: Вычеты. Основная теорема о вычетах (основная теорема о вычетах, применение вычетов ) Лектор Пахомова Е.Г г.

2 3. Основная теорема о вычетах ТЕОРЕМА 9 (основная теорема о вычетах). Пусть а) функция f(z) аналитична в ограниченной односвяз- ной области D за исключением конечного числа изолированных особых точек z 1, z 2, … z n ; б)C – замкнутый контур в D, внутри которого со- держатся точки z 1, z 2, … z n. Тогда СЛЕДСТВИЕ 10. Пусть функция f(z) аналитична в ограниченной односвязной области D за исключением конечного числа изолированных особых точек z 1, z 2, … z n. Тогда сумма всех вычетов функции f(z) относительно ее особых точек, включая вычет относительно, равна нулю, т.е.

3 4. Применение вычетов при вычислении интегралов а) Вычисление контурных интегралов ПРИМЕР 1. Найти ПРИМЕР 2. Найти

4 б) Вычисление интегралов типа Имеем:, Замена: z = e ix Получим: ПРИМЕР 3. Найти

5 в) Вычисление интегралов типа (где m n + 2, P m (x) 0, x ). ТЕОРЕМА 11. Пусть, где P n (x), P m (x) – многочлены степени n и m соответственно, причем m n + 2, P m (x) 0, x Тогда, где z 1, z 2, …, z m – особые точки f(z), лежащие в верхней полуплоскости (т.е. Imz k > 0) ПРИМЕР 4. Найти

6 г) Вычисление интегралов типа, ЛЕММА 12 (Жордана). Пусть имеется семейство дуг полуокружностей C R : | z | = R, Imz 0 (где R + ) Обозначим. Если f(z) аналитическая в верхней полуплоскости за исклю- чением конечного числа особых точек и, то, где, > 0.

7 ТЕОРЕМА 13. Пусть 1)f(z) аналитична на вещественной оси 2)f(z) аналитична в верхней полуплоскости за исклю- чением особых точекz 1, z 2,…, z m ; 3) f(z) удовлетворяет условиям леммы Жордана. Тогда для любого > 0 интеграл – сходится и, где z 1, z 2, …, z m – особые точки f(z), лежащие в верхней полуплоскости (т.е. Imz k > 0).

8 СЛЕДСТВИЕ 14. Пусть f(z) удовлетворяет условиям теоремы 13. Тогда,, где z 1, z 2, …, z m – особые точки f(z), лежащие в верхней полуплоскости (т.е. Imz k > 0). ПРИМЕР 5. Найти