3. Взаимное расположение плоскостей В пространстве две плоскости могут: а) быть параллельны, б) пересекаться. Пусть уравнения плоскостей λ 1 и λ 2 имеют. - презентация

1 3. Взаимное расположение плоскостей В пространстве две плоскости могут: а) быть параллельны, б) пересекаться. Пусть уравнения плоскостей λ 1 и λ 2 имеют вид: λ 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 λ 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 Тогда:

2 1) Пусть плоскости параллельны: Получаем, что плоскости λ 1 и λ 2 параллельны тогда и только тогда, когда в их общих уравнениях коэффициенты при соответствующих неизвестных пропорциональны, т.е.

3 2) Пусть плоскости пересекаются где знак плюс берется в том случае, когда надо найти величину острого угла, а знак минус – когда надо найти величину тупого угла.

4 Частный случай – плоскости перпендикулярны, т.е. критерий перпендикулярности плоскостей, заданных общими уравнениями.

5 4. Расстояние от точки до плоскости ЗАДАЧА 3. Пусть плоскость λ задана общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0, M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) – точка, не принадлежащая плоскости λ. Найти расстояние от точки M 0 до плоскости λ.

6 § 15. Прямая в пространстве 1. Уравнения прямой в пространстве Пусть A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0 и A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0 – уравнения любых двух различных плоскостей, содержащих прямую. Тогда координаты любой точки прямой удовлетворяют одновременно обоим уравнениям, т.е. являются решениями системы Систему (1) называют общими уравнениями прямой в пространстве.

7 Другие формы записи уравнений прямой в пространстве – ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ и КАНОНИЧЕСКИЕ уравнения. ЗАДАЧА 1. Записать уравнение прямой в пространстве, проходящей через точку M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ), параллельно вектору Вектор, параллельный прямой в пространстве, называют направляющим вектором этой прямой.

8 называют параметрическими уравнениями прямой в пространстве (в векторной и координатной форме соответственно).

9 Частным случаем канонических уравнений являются УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДВЕ ЗАДАННЫЕ ТОЧКИ. Пусть прямая проходит через точки M 1 (x 1,y 1,z 1 ) и M 2 (x 2,y 2,z 2 ).

10 2. Переход от общих уравнений прямой к каноническим Пусть прямая задана общими уравнениями: Чтобы записать канонические (параметрические) уравнения этой прямой, необходимо найти ее направляющий вектор и координаты какой-нибудь точки M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) на прямой. а) Координаты точки M 0 – это одно из решений системы (1). б) Направляющий вектор