Лектор Пахомова Е.Г. 2011 г. Дифференциальные уравнения Тема: Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка (однородные с постоянными коэффициентами, - презентация

1 Лектор Пахомова Е.Г г. Дифференциальные уравнения Тема: Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка (однородные с постоянными коэффициентами, уравнения Эйлера)

2 3. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами Пусть линейное однородное уравнение имеет вид y (n) + a 1 y (n – 1) + … + a n – 1 y + a n y = 0,(10) где a 1, a 2, …, a n – некоторые действительные числа. Уравнение (10) называется линейным однородным уравнением n–го порядка с постоянными коэффициентами. Решения уравнения (10) будем искать в виде y = e x, где – некоторая постоянная. Имеем: y = e x, y = 2 e x, y = 3 e x, …, y (n) = n e x. Подставляем y, y, y, …, y (n) в уравнение (10) и получаем: n e x + a 1 n – 1 e x + … + a n – 1 e x + a n e x = 0, n + a 1 n – 1 + … + a n – 1 + a n = 0.(11)

3 Уравнение (11) называется характеристическим уравнением (для) уравнения (10). Многочлен в левой части (11) называется характеристичес- ким многочленом, Корни уравнения (11) называются характеристическими корнями уравнения (10). Замечания. 1)Формально характеристическое уравнение (11) получается из (10) заменой производных искомой функции на соответ- ствующие степени, а самой функции – на 0 = 1. 2)Уравнение (10) – алгебраическое уравнение n-й степени. оно имеет n корней, но 1) каждый корень считается столько раз, какова его кратность; 2)корни могут быть комплексными (причем, комплексные корни попарно сопряжены). Следовательно, функции вида e x в общем случае не дадут всю ф.с.р. уравнения (10).

4 ТЕОРЕМА 6. Пусть – характеристический корень уравнения (10). Тогда 1)если и – простой корень уравнения (11), то решением уравнения (10) является функция e x ; 2)если и – корень кратности k уравнения (11), то решениями уравнения (10) являются функции e x, x e x, x 2 e x, …, x k – 1 e x ; 3)если = + i и – простой корень уравнения (11), то ̄ = – i тоже является простым корнем уравнения (11), а решениями уравнения (10) являются функции e x cos x, e x sin x ; 4)если = + i и – корень кратности k уравнения (11), то ̄ = – i тоже является корнем кратности k уравнения (11), а решениями (10) являются функции e x cos x, xe x cos x, x 2 e x cos x, …, x k – 1 e x cos x e x sin x, xe x sin x, x 2 e x sin x, …, x k – 1 e x sin x. Решения, относящиеся к различным характеристическим корням, линейно независимы и найденные таким образом n решений уравнения (10) будут образовывать его ф.с.р.

5 ПРИМЕР 1. Найти общее решение уравнения ПРИМЕР 2. Найти общее решение уравнения ПРИМЕР 3. Найти общее решение уравнения

6 4. Уравнения Эйлера Линейное однородное уравнение вида x n y (n) + a 1 x n – 1 y (n – 1) + … + a n – 1 x y + a n y = 0,(12) (где a i ) называется уравнением Эйлера. Уравнение Эйлера сводится к линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами заменой x = e t. фундаментальная система решений уравнения (12) состоит из функций вида x e t ; ln x x t e t ; x cos( ln x), x sin( ln x) e t cos t, e t sin t ; ln x x cos( ln x), ln x x sin( ln x) t e t cos t, t e t sin t.

7 Замечание. На практике, при интегрировании уравнения Эйлера, можно сразу записать его характеристическое уравнении. Действительно, характеристическое уравнение – это условие для, при котором e t является решением ЛОДУ. Но e t = x. Следовательно, то же самое условие для полу- чится, если потребовать, чтобы функция y = x являлась решением уравнения (12). ПРИМЕР. Найти общее решение уравнения

8 5. ЛОДУ 2-го порядка, с произвольными коэффициентами Рассмотрим уравнение y + a 1 (x) y + a 2 (x) y = 0.(13) Пусть y 1 (x) любое ненулевое решение уравнения (13). Тогда его общее решение имеет вид ПРИМЕР. Найти общее решение уравнения, если известно, что его решением является функция