Выполнили: студенты гр. 2В00 О.В. Казанцева, А.Н. Колчегошева Томск – 2011 Реферат по теме: «Центральная предельная теорема А.М. Ляпунова» - презентация

1 Выполнили: студенты гр. 2В00 О.В. Казанцева, А.Н. Колчегошева Томск – 2011 Реферат по теме: «Центральная предельная теорема А.М. Ляпунова»

2 Центральные предельные теоремы (Ц.П.Т.) класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы (ни одно из слагаемых не доминирует, не вносит в сумму определяющего вклада), имеет распределение, близкое к нормальному.

3 русский математик и механик Академик Петербургской АН член-корреспондент 1900 доцент, с 1892 профессор Харьковского университета ученик П. Л. Чебышева

4 создал современную строгую теорию устойчивости равновесия и движения механических систем; построение общего метода для решения задач об устойчивости; исследование теории фигур равновесия равномерно вращающейся жидкости; цикл работ Ляпунова по некоторым вопросам математической физики.

5 исследовании свойств потенциала от зарядов и диполей, непрерывно распределённых по некоторой поверхности поведения производных решения задачи Дирихле при приближении к поверхности, на которой задано граничное условие исследование потенциала двойного слоя (случай диполей) доказал так называемую центральную предельную теорему теории вероятностей

6 одна из важнейших предельных теорем вероятностей теории, описывающая асимптотику при больших N распределения вероятностей суммы N случайных величин.

7 Наиб. просто Ц. п. т. формулируется для суммы N первых членов бесконечной последовательности независимых и одинаково распределённых случайных величин в предположении, что существуют, по крайней мере, два первых момента у каждой величины:

8 (и эти моменты одинаковы для всех n). Согласно наиболее простой предельной теореме теории вероятностей - больших чисел закону, случайная величина с вероятностью, близкой к единице, принимает значения порядка o (N) при N. Более точно это означает, что для любого e>0 вероятность Ц. п. т. значительно уточняет соотношение (5) при малых (по сравнению с N) значениях V N : для любых конечных а и b

9 вероятность того, что имеет асимптотику иначе говоря, вероятности конечных (порядка константы) значений распределены приближено по стандартному нормальному гауссовскому закону (со средним 0 и дисперсией 1). Из (4) и (6) следует, что при больших N сумма S N имеет вид

10 в случае, когда величины x 1, x 2,..., x n,... распределены не одинаково, и при условии, что у этих величин существуют оба первых момента, а также при дополнительном условии некоторой равномерности; если требование независимости величин x i, i=1, 2,... нарушено, но сохраняется в определенном смысле "слабая" зависимость "далеко отстоящих" друг от друга величин x i и x j, когда |i-j| - велико;

11 можно рассматривать не только последовательности случайных величин, но и более общие их совокупности, скажем, случайные поля {x t, t Z v на v -мерной решётке; кроме сумм величин из одной и той же бесконечной последовательности (2) можно рассматривать т. н. схему серий, т. е. бесконечную совокупность конечных последовательностей.

12 Большую роль играют предельные теоремы в математической статистике; с их помощью выясняются важные свойства статистических оценок и отыскивается предельное распределение выборочных характеристик, используемых для проверки статистических гипотез. Предельные теоремы теории вероятностей, теоремы Муавра-Лапласа объясняют природу устойчивости частоты появлений события. Природа эта состоит в том, что предельным распределением числа появлений события при неограниченном возрастании числа испытаний (если вероятность события во всех испытаниях одинакова) является нормальное распределение.