Применим операцию ротор к уравнению (3.19.1) Ранее было получено где - плотность макроскопического тока. Аналогичная формула имеет место и для вектора. - презентация

1 Применим операцию ротор к уравнению (3.19.1) Ранее было получено где - плотность макроскопического тока. Аналогичная формула имеет место и для вектора собственной магнитной индукции где - плотность молекулярных токов. Применим операцию ротор к уравнению (3.19.1) Ранее было получено где - плотность макроскопического тока. Аналогичная формула имеет место и для вектора собственной магнитной индукции где - плотность молекулярных токов Напряженность магнитного поля

2 Поэтому ротор результирующего магнитного поля в веществе можно записать в виде (3.20.1) Плотность молекулярных токов сама зависит от магнитной индукции В. Поэтому, чтобы найти надо знать плотность не только макроскопических, но и молекулярных токов, что сопряжено с определенными трудностями. Поэтому ротор результирующего магнитного поля в веществе можно записать в виде (3.20.1) Плотность молекулярных токов сама зависит от магнитной индукции В. Поэтому, чтобы найти надо знать плотность не только макроскопических, но и молекулярных токов, что сопряжено с определенными трудностями.

3 Чтобы обойти эти трудности, найдем величину, которая определяется только макроскопическими токами. Для этого выразим плотность молекулярных токов через намагниченность. Рассмотрим некоторый замкнутый контур Г внутри вещества. Сумма всех молекулярных токов, протекающих через такой контур, равна где S – поверхность, натянутая на контур Г. В данный интеграл вклад дают лишь те молекулярные токи I мол, которые нанизаны на контур и пересекают поверхность S только один раз. Чтобы обойти эти трудности, найдем величину, которая определяется только макроскопическими токами. Для этого выразим плотность молекулярных токов через намагниченность. Рассмотрим некоторый замкнутый контур Г внутри вещества. Сумма всех молекулярных токов, протекающих через такой контур, равна где S – поверхность, натянутая на контур Г. В данный интеграл вклад дают лишь те молекулярные токи I мол, которые нанизаны на контур и пересекают поверхность S только один раз.

4 Пусть dl – элемент контура, образующий с намагниченностью угол. На этот элемент нанизаны молекулярные токи, центры которых находятся внутри косого цилиндра. Объем цилиндра равен где - площадь, охватываемая одним молекулярным током (основание цилиндра). Пусть dl – элемент контура, образующий с намагниченностью угол. На этот элемент нанизаны молекулярные токи, центры которых находятся внутри косого цилиндра. Объем цилиндра равен где - площадь, охватываемая одним молекулярным током (основание цилиндра).

5 Пусть n - концентрация молекул, тогда ток, охватываемый элементом контура dl, равен Но этой формуле можно дать и другую интерпретацию. Действительно, произведение - есть магнитный момент p m одного молекулярного тока. Поэтому - есть магнитный момент единицы объема, и значит, согласно определению (3.19.2), равен модулю вектора намагниченности. Пусть n - концентрация молекул, тогда ток, охватываемый элементом контура dl, равен Но этой формуле можно дать и другую интерпретацию. Действительно, произведение - есть магнитный момент p m одного молекулярного тока. Поэтому - есть магнитный момент единицы объема, и значит, согласно определению (3.19.2), равен модулю вектора намагниченности.

6 Тогда величину можно рассматривать как проекцию вектора намагниченности на направление элемента контура dl. Поэтому молекулярный ток, охватываемый элементом dl, можно записать как. В результате ток, созданный молекулами, находящимися вблизи элемента контура dl равен Тогда величину можно рассматривать как проекцию вектора намагниченности на направление элемента контура dl. Поэтому молекулярный ток, охватываемый элементом dl, можно записать как. В результате ток, созданный молекулами, находящимися вблизи элемента контура dl равен

7 Итак, сумма всех молекулярных токов, охватываемых контуром Г есть Преобразуем правый интеграл с помощью теоремы Стокса Итак, сумма всех молекулярных токов, охватываемых контуром Г есть Преобразуем правый интеграл с помощью теоремы Стокса

8 В результате получаем равенство которое должно выполняться при произвольном выборе контура Г и поверхности S. А это возможно, лишь если равны подинтегральные функции (3.20.2) Следовательно, плотность молекулярных токов равна ротору вектора намагниченности. В результате получаем равенство которое должно выполняться при произвольном выборе контура Г и поверхности S. А это возможно, лишь если равны подинтегральные функции (3.20.2) Следовательно, плотность молекулярных токов равна ротору вектора намагниченности.

9 Подставим (3.20.2) в (3.20.1) Это уравнение можно переписать в виде (3.20.3) Откуда следует, что вектор (3.20.4) определяется только плотностью макротоков. Вектор называется напряженностью магнитного поля. Он характеризует магнитное поле макротоков. Подставим (3.20.2) в (3.20.1) Это уравнение можно переписать в виде (3.20.3) Откуда следует, что вектор (3.20.4) определяется только плотностью макротоков. Вектор называется напряженностью магнитного поля. Он характеризует магнитное поле макротоков.

10 С учетом (3.20.4) формула (3.20.3) принимает вид (3.20.5) Ротор напряженности магнитного поля равен вектору плотности макроскопических токов. Возьмем поверхностный интеграл от обеих частей этого равенства по поверхности S, натянутой на замкнутый контур Г С учетом (3.20.4) формула (3.20.3) принимает вид (3.20.5) Ротор напряженности магнитного поля равен вектору плотности макроскопических токов. Возьмем поверхностный интеграл от обеих частей этого равенства по поверхности S, натянутой на замкнутый контур Г

11 Согласно теореме Стокса левый интеграл можно представить в виде Следовательно (3.20.6) Согласно теореме Стокса левый интеграл можно представить в виде Следовательно (3.20.6)

12 Если макроскопические токи текут по нескольким проводам, охватываемым контуром, то формула (3.20.6) принимает вид (3.20.7) Формулы (3.20.6) и (3.20.7) выражают собой теорему о циркуляции вектора напряженности : циркуляция вектора напряженности магнитного поля по некоторому контуру равна алгебраической сумме макроскопических токов, охватываемых этим контуром. Напряженность магнитного поля является аналогом электрического смещения. Если макроскопические токи текут по нескольким проводам, охватываемым контуром, то формула (3.20.6) принимает вид (3.20.7) Формулы (3.20.6) и (3.20.7) выражают собой теорему о циркуляции вектора напряженности : циркуляция вектора напряженности магнитного поля по некоторому контуру равна алгебраической сумме макроскопических токов, охватываемых этим контуром. Напряженность магнитного поля является аналогом электрического смещения.

13 Из (3.20.7) следует размерность напряженности магнитного поля Согласно (3.20.4) такую же размерность имеет и намагниченность. Из (3.20.7) следует размерность напряженности магнитного поля Согласно (3.20.4) такую же размерность имеет и намагниченность.

14 Опыт показывает, что в не сильных магнитных полях намагниченность пропорциональна напряженности магнитного поля (3.20.8) где - магнитная восприимчивость магнетика, безразмерная величина. Опыт показывает, что в не сильных магнитных полях намагниченность пропорциональна напряженности магнитного поля (3.20.8) где - магнитная восприимчивость магнетика, безразмерная величина.

15 Подставим (3.20.8) в (3.20.4) Откуда (3.20.9) Величина ( ) называется магнитной проницаемостью вещества. Магнитная проницаемость показывает во сколько раз магнитное поле макротоков изменяется в магнетике за счет поля микротоков. Подставим (3.20.8) в (3.20.4) Откуда (3.20.9) Величина ( ) называется магнитной проницаемостью вещества. Магнитная проницаемость показывает во сколько раз магнитное поле макротоков изменяется в магнетике за счет поля микротоков.

16 Формулу (3.20.9) можно переписать в виде ( ) В изотропных средах направления векторов индукции В и напряженности Н совпадают. В анизотропных средах направления векторов В и Н могут не совпадать. Формулу (3.20.9) можно переписать в виде ( ) В изотропных средах направления векторов индукции В и напряженности Н совпадают. В анизотропных средах направления векторов В и Н могут не совпадать.

17 Рассмотрим магнитное поле в вакууме. У вакуума магнитная восприимчивость и намагниченность равны нулю, а магнитная проницаемость равна единице Поэтому напряженность магнитного поля в вакууме связана с магнитной индукцией формулой Рассмотрим магнитное поле в вакууме. У вакуума магнитная восприимчивость и намагниченность равны нулю, а магнитная проницаемость равна единице Поэтому напряженность магнитного поля в вакууме связана с магнитной индукцией формулой

18 Найдем для примера напряженность магнитного поля прямого тока, текущего в магнетике. Согласно (3.3.1) магнитная индукция прямого тока равна Подставляя в ( ), получаем напряженность магнитного поля прямого тока в магнетике ( ) Найдем для примера напряженность магнитного поля прямого тока, текущего в магнетике. Согласно (3.3.1) магнитная индукция прямого тока равна Подставляя в ( ), получаем напряженность магнитного поля прямого тока в магнетике ( )

19 Пусть имеются два однородных магнетика с магнитными проницаемостями 1 и 2. Найдем связь векторов В и Н в двух средах на границе их раздела. Построим вблизи границы цилиндр с высотой h и основаниями S. Внешние нормали и к основаниям направлены в противоположные стороны. Пусть имеются два однородных магнетика с магнитными проницаемостями 1 и 2. Найдем связь векторов В и Н в двух средах на границе их раздела. Построим вблизи границы цилиндр с высотой h и основаниями S. Внешние нормали и к основаниям направлены в противоположные стороны Условия на границе раздела двух магнетиков

20 Согласно теореме Гаусса поток магнитной индукции Ф В через замкнутую поверхность цилиндра равен нулю (3.21.1) С другой стороны, этот поток можно представить как сумму потоков через два основания и боковую поверхность цилиндра Устремим высоту цилиндра к нулю h 0, тогда потоком через боковую поверхность можно пренебречь и получаем Согласно теореме Гаусса поток магнитной индукции Ф В через замкнутую поверхность цилиндра равен нулю (3.21.1) С другой стороны, этот поток можно представить как сумму потоков через два основания и боковую поверхность цилиндра Устремим высоту цилиндра к нулю h 0, тогда потоком через боковую поверхность можно пренебречь и получаем

21 Спроецируем вектора индукции В 1 и В 2 на одну и ту же нормаль (например ), тогда знак изменится и получим (3.21.2) Нормальная составляющая вектора магнитной индукции на границе магнетиков непрерывна. Спроецируем вектора индукции В 1 и В 2 на одну и ту же нормаль (например ), тогда знак изменится и получим (3.21.2) Нормальная составляющая вектора магнитной индукции на границе магнетиков непрерывна.

22 Используя ( ), равенство (3.21.2) можем переписать в виде (3.21.3) или Следовательно, нормальная составляющая вектора напряженности магнитного поля на границе магнетиков терпит разрыв. Используя ( ), равенство (3.21.2) можем переписать в виде (3.21.3) или Следовательно, нормальная составляющая вектора напряженности магнитного поля на границе магнетиков терпит разрыв.

23 Теперь выберем вблизи границы прямоугольный контур АВCD длиной l = АВ и высотой h = AD, и вычислим циркуляцию напряженности Н по этому контуру. Согласно (3.20.6) Пусть макроскопические токи по границе не текут, тогда и Теперь выберем вблизи границы прямоугольный контур АВCD длиной l = АВ и высотой h = AD, и вычислим циркуляцию напряженности Н по этому контуру. Согласно (3.20.6) Пусть макроскопические токи по границе не текут, тогда и

24 С другой стороны, криволинейный интеграл можно расписать в виде вкладов от его отдельных участков где - проекция вектора на направление вектора перемещения вдоль контура АВCD. Устремляя h 0, получаем условие непосредственно на границе (3.21.4) Тангенциальная составляющая вектора напряженности магнитного поля на границе магнетиков непрерывна. С другой стороны, криволинейный интеграл можно расписать в виде вкладов от его отдельных участков где - проекция вектора на направление вектора перемещения вдоль контура АВCD. Устремляя h 0, получаем условие непосредственно на границе (3.21.4) Тангенциальная составляющая вектора напряженности магнитного поля на границе магнетиков непрерывна.

25 Выражая Н через В, находим Откуда (3.21.5) Тангенциальная составляющая вектора магнитной индукции В τ терпит скачок. Выражая Н через В, находим Откуда (3.21.5) Тангенциальная составляющая вектора магнитной индукции В τ терпит скачок.

26 Итак, на границе раздела магнетиков : 1) нормальная составляющая вектора магнитной индукции В n и тангенциальная составляющая вектора напряженности магнитного поля Н непрерывны, 2) тангенциальная составляющая вектора магнитной индукции В и нормальная составляющая вектора напряженности Н n терпят скачок. Итак, на границе раздела магнетиков : 1) нормальная составляющая вектора магнитной индукции В n и тангенциальная составляющая вектора напряженности магнитного поля Н непрерывны, 2) тангенциальная составляющая вектора магнитной индукции В и нормальная составляющая вектора напряженности Н n терпят скачок.

27 Рассмотрим поведение линий магнитной индукции при пересечении границы. Из рисунка следует, что С учетом (3.21.2) и (3.21.5) получаем (3.21.6) закон преломления магнитной индукции Рассмотрим поведение линий магнитной индукции при пересечении границы. Из рисунка следует, что С учетом (3.21.2) и (3.21.5) получаем (3.21.6) закон преломления магнитной индукции

28 Из закона преломления следует, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемостью линии индукции отклоняются от нормали, что приводит к их сгущению. Это используют для магнитной защиты приборов. Приборы окружают железным экраном, в толщине которого происходит сгущение линий магнитной индукции, что приводит к ослаблению магнитного поля внутри экрана. Из закона преломления следует, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемостью линии индукции отклоняются от нормали, что приводит к их сгущению. Это используют для магнитной защиты приборов. Приборы окружают железным экраном, в толщине которого происходит сгущение линий магнитной индукции, что приводит к ослаблению магнитного поля внутри экрана.

29 Формула (3.20.8) определяет магнитную восприимчивость единицы объема вещества. Часто используют восприимчивость, отнесенную к одному молю вещества. Они связаны между собой формулой где V m – молярный объем. Поэтому, в то время как - величина безразмерная, - имеет размерность V m Формула (3.20.8) определяет магнитную восприимчивость единицы объема вещества. Часто используют восприимчивость, отнесенную к одному молю вещества. Они связаны между собой формулой где V m – молярный объем. Поэтому, в то время как - величина безразмерная, - имеет размерность V m 3.22 Виды магнетиков

30 В зависимости от знака и величины магнитной восприимчивости все магнетики делят на 3 группы: 1)диамагнетики – отрицательна и мала по величине 2) парамагнетики – положительна и тоже мала по величине 3) ферромагнетики – положительна и велика по величине В зависимости от знака и величины магнитной восприимчивости все магнетики делят на 3 группы: 1)диамагнетики – отрицательна и мала по величине 2) парамагнетики – положительна и тоже мала по величине 3) ферромагнетики – положительна и велика по величине

31 Следовательно, у парамагнетиков и ферромагнетиков намагниченность J совпадает по направлению с напряженностью магнитного поля Н, тогда как у диамагнетиков вектора J и Н направлены в противоположные стороны. Кроме того, у диамагнетиков и парамагнетиков магнитная восприимчивость не зависит от напряженности магнитного поля. В отличие от них у ферромагнетиков магнитная восприимчивость является функцией от напряженности магнитного поля. Рассмотрим природу свойств магнетиков подробнее. Следовательно, у парамагнетиков и ферромагнетиков намагниченность J совпадает по направлению с напряженностью магнитного поля Н, тогда как у диамагнетиков вектора J и Н направлены в противоположные стороны. Кроме того, у диамагнетиков и парамагнетиков магнитная восприимчивость не зависит от напряженности магнитного поля. В отличие от них у ферромагнетиков магнитная восприимчивость является функцией от напряженности магнитного поля. Рассмотрим природу свойств магнетиков подробнее.