Построение сечений многогранников. Учитель: Аляева О.Н. - презентация

1 Построение сечений многогранников. Учитель: Аляева О.Н.

2 Введение. В работе представлены различные методы построения сечений многогранников. Однако особое внимание уделено методу следов.

3 1.Основные понятия Многогранником называется ограниченное тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников(граней многогранника, а стороны и вершины многоугольников называются соответственно рёбрами и вершинами многогранника). Выпуклый многогранник – это многогранник расположенный по одну сторону от плоскости каждой его грани.

4 Секущей плоскостью называется плоскость, по обе стороны от которой расположены точки многогранника. Сечением многогранника плоскостью является многоугольник, представляющий собой множество всех точек пространства принадлежащих одновременно данным многограннику и секущей плоскости.

5 Способы построения сечений. 1. Метод следов. Примеры построения сечений в: а) кубе, б) тетраэдре, в) пирамиде, Г) призме. 2. Метод параллельных прямых. 3. Метод дополнения. 4. Метод деления. 5. Метод переноса секущей плоскости.

6 1-1.Метод следов. Метод следов заключается в следующем. Сначала строят на основной плоскости след секущей плоскости (причем за основную плоскость принимают большей частью плоскость основания геометрического тела).Затем, используя след секущей плоскости, находят точки встречи ребер многогранника с секущей плоскостью. Используя полученные ( и данные ) точки,получают следы секущей плоскости на гранях многогранника.

7 а)в кубе.(пример 1) Построить сечение куба плоскостью заданной тремя точками P,K и M на его боковых ребрах. Проведем через точки Т и Р прямую а. Проведем прямую b через точки А и В. Обозначим точку их пересечения R. Проведем прямую d через точки T и M Проведем прямую с через точки В и С Обозначим точку пересечения R 1 Соединим прямой х точки R и R1 Точки пересечения прямой x с ребрами AD и DC обозначим X и Y. Многоугольник XPTMY –искомое сечение.(рис.1)

8 (рис.1)

9 а)в кубе.(пример 2) Дан куб АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 и точка М принадлежащая грани DD 1. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки А 1, С 1 и М и найти линию пересечения секущей плоскости с плоскостью основания куба. Решение.I. Секущая плоскость имеет с гранью А 1 В 1 С 1 D 1 две общие точки А 1 и С 1 и, следовательно, пересекается с нею по прямой, проходящей через эти точки. Соединяя точки А 1 и С 1 отрезком прямой А 1 С 1, находим линию пересечения плоскости будущего сечения и плоскости верхней грани. Аналогично находим линии пересечения секущей плоскости с гранями АА 1 D 1 D и DD 1 C 1 C : А 1 М и С 1 М соответственно.А 1 С 1 М – искомое сечение. II. Находим точки пересечения прямых А 1 М и С 1 М с плоскостью нижней грани: Х и Y (задача 1); соединяем Х и Y; ХY – искомая линия пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания куба.

10

11 б) в тетраэдре. На рёбрах АВ, В D и С D тетраэдра АВСД отмечены точки М, N, Р. Построить сечение тетраэдра плоскостью М N Р. Решение. 1. Построим прямую МЕ, по которой пересекаются плоскости М N Р и АВС. 2. Точка М является их общей точкой. 3. Продолжим отрезки N Р и ВС до их пересечения в точке Е. 4. Прямая МЕ пересекает ребро АС в точке Т. 5. Четырёхугольник М N РТ - искомое сечение.

12 A C B D Q M P N E I

13 Примеры сечения тетраэдра плоскостью Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть треугольники, четырёхугольники A C B D Q M P N E I D C A B M N P Q E` D C B A E F G

14 в) в пирамиде Построить сечение пирамиды КАВСD, у которой ребро КА перпендикулярно плоскости основания ( К – вершина пирамиды). Сечение проходит через вершину А и точку М, лежащую на ребре КС параллельно диагонали основания ВD. Решение. Сечение проходит через точки А и М, т.е. через прямую АМ параллельно диагонали ВD. Рассмотрим эту секущую плоскость вне пирамиды КАВСD. Секущая плоскость проходит через А параллельно ВD, поэтому проведём через А прямую а параллельно диагонали ВD. Прямая а лежит в плоскости АВС и в плоскости сечения. Значит точка пересечения прямых а и CD – точка Z принадлежит секущей плоскости и плоскости KCD. И так в плоскости KCD есть две точки M и Z принадлежащие секущей плоскости. Тогда секущая плоскость пересекает грань KCD по отрезку PM. Аналогично найдем точку F – точку пересечения ребра KB (прямые а и CB пересекаются в точке Q, прямая MQ пересекает ребро KB точке F). Четырёхугольник APMNF – искомое сечение пирамиды KABCD.

15

16 Г) в призме. Построить в треугольной призме АВСА 1 В 1 С 1 сечение, проходящее через ребро АВ и середину А 1 С 1. Решение. Пусть М – серединаА 1 С 1. Выясним, что в секущей плоскости и грани АА 1 С 1 С лежат одновременно точки А и М. Значит, секущая плоскость пересекает грань АА 1 С 1 С по прямой АМ. Определим линию пересечения секущей плоскости и плоскости (А 1 В 1 С 1 ). Так как плоскость (А 1 В 1 С 1 ) имеет с секущей плоскостью одну общую точку М, то они пересекаются по прямой, содержащей точку М. Но как проходит эта прямая? Секущая плоскость проходит через АВ, но АВ параллельна А 1 В 1. Следовательно, cекущая плоскость пересекает плоскость (А 1 В 1 С 1 ) по прямой МК, параллельной А 1 В 1, где К-точка пересечения прямых МК и В 1 С 1 Точки К и В принадлежат одновременно грани ВВ 1 С 1 С и секущей плоскости. Следовательно, прямая КВ является прямой пересечения секущей плоскости и грани ВВ 1 С 1 С. Четырёхугольник АМКВ является сечением призмы.

17

18 2. Метод параллельных прямых. В основу метода положено свойство параллельных плоскостей «Прямые, по которым плоскость пересекает данные параллельные плоскости, параллельны между собой». Пример

19 Пример: Дано изображение пятиугольной призмы ABCDEA 1 B 1 C 1 D 1 E 1.Точка K принадлежит прямой AA 1, М принадлежит прямой CC 1 постройте сечение призмы плоскостью KBM. Через ребро AA 1 проводим плоскость a, параллельную грани BCC 1 B 1. Получаем: Точка P – точка пересечения прямой ED и плоскости a, P 1 – точка пересечения прямой E 1 D 1 и плоскости а, F – точка пересечения прямой CD и плоскости а, F 1 – точка пересечения прямой C 1 D 1 и плоскости a. Очевидно, что A 1 F 1 параллельна B 1 C 1 и AF параллельна BC. Так как плоскость а параллельна грани BCC 1 B 1, то секущая плоскость KBM пересечёт плоскость а по прямой KX, параллельной BM (X принадлежит прямой FF 1 ). Получаем, что прямая PP 1 пересекает прямую KX в точке О, а прямая МХ пересекает прямую DD 1 в точке T, прямая EE 1 пересекает прямую ТО в точке Y. Прямоугольник КBMTY – искомое сечение данной призмы.

20

21 3. Метод дополнения n-угольной призмы(пирамиды) до треугольной призмы(пирамиды). Данная призма(пирамида) достраивается до треугольной призмы(пирамиды). Строится сечение полученной треугольной призмы(пирамиды). Искомое сечение получается как часть сечения треугольной призмы(пирамиды). Пример

22 Пример: Дано изображение пятиугольной пирамиды MABCDE. Точка F принадлежит ребру AM, точка T принадлежит ребру MC. Постройте сечение пирамиды плоскостью FBT. Строим точку P – точку пересечения прямой BC и DE, и точку К – точку пересечения прямых AB и DE. Соединяем отрезками точки M и K, P и М и получаем треугольную пирамиду MKBP, частью которой является данная пятиугольная пирамида. Строим сечение пирамиды MKBP плоскостью FBT. Точка X – точка пересечения прямых FB и KM, точка Y – точка пересечения прямых BT и MP. Треугольник XYB – сечение пирамиды MKBP плоскостью FBT. Точка Q – точка пересечения прямых EM и XY, а точка H – точка пересечения прямых MD и XY. Пятиугольник QHTBF – искомое сечение данной пятиугольной пирамиды.

23 Чертёж.

24 4. Метод деления n-угольной пирамиды(призмы) на треугольные пирамиды(призмы). Из данной n-угольной призмы(пирамиды) выделяется та треугольная призма(пирамида), на боковых рёбрах которой лежат точки, определяющие искомое сечение. Строится сечение этой треугольной призмы(пирамиды). Строятся сечения тех треугольных призм(пирамид), которые имеют общие части с данным многогранником. Пример

25 Пример. Построить сечение призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 проходящие через точки T, P, K, принадлежащие рёбрам AA 1, BB 1, CC 1 соответственно. - Заметим что треугольник TPK является сечением треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1, с этой призмой имеет общую часть призма BCDB 1 C 1 D 1. - Обозначим N – точка пересечения прямых AC и BD; M – точку пересечения прямых A 1 C 1 и B 1 D 1. - Очевидно отрезок MN является пересечением боковых граней AA 1 C 1 C и DD 1 B 1 B призм ABCA 1 B 1 C 1 и BCDB 1 C 1 D 1. - Теперь понятно, что треугольник PKX является сечением призмы BCDB 1 C 1 D 1. - Четырёхугольник TPKX – искомое сечение.

26

27 5. Метод переноса секущей плоскости. Сначала строится вспомогательное сечение данного многогранника, которое удовлетворят следующим требованиям: а) оно параллельно секущей плоскости; б) в пересечении с поверхностью данного многогранника образует треугольник. После этого искомое сечение строиться на основании свойств прямых, по которым две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью. Пример

28 Пример. Точки М, N и К принадлежат соответственно ребрам SB,SA и SC пирамиды SABCD Построить сечение пирамиды плоскостью МNK. - В плоскости ASB построим прямую АР, параллельную NM (т. Р принадлежит ребру SB. - В плоскости SBC строим прямую PF, параллельную прямой МК ( точка F лежит на прямой ВС). - Прямая AF пересекает прямую BD в точке О. - Получим треугольник APF, который является сечением данной пирамиды. Причём плоскости NMK и APF параллельны. -В плоскости основания BSD строим прямую МЕ параллельную РО ( точка Е лежит на диагонали ВD). - В плоскости основания пирамиды через точку Е проводим прямую, параллельную AF, которая пересечёт рёбра пирамиды AD и DC в точках X и Y соответственно. - Пятиугольник XNMKY – искомое сечение.

29