Случайные величины. Понятие о случайной величине Пусть имеется величина x, которая может принимать то или иное значение, причем это значение может быть. - презентация

1 Случайные величины

2 Понятие о случайной величине Пусть имеется величина x, которая может принимать то или иное значение, причем это значение может быть различным при неизменных условиях постановки опыта. Такая величина носит название случайной величины.

3 Примеры случайных величин 1.Число очков, выпавших при бросании кубика. 2.Спортсмен бросает копье. Случай оная величина – дальность броска при одной попытке.

4 Классификация Случайные величины Дискретные Число очков, выпавших при броске игральной кости Непрерывные В круг бросается камень. Случайная величина – расстояние до центра.

5 Случайную величину можно создать и искусствено Приведем примеры перехода от событий к случайным величинам. Пусть из урны наудачу выбирается шары, причем известно, что в урне имеются шары красного, синего и зеленого цветов. Вводим случайную величину x, принимающую значения: x = 1, если вынутый шар оказался зеленым x = 2, если вынутый шар оказался красным x = 3, если вынутый шар оказался синим. Таким образом мы совершили переход от событий к случайной величине.

6 Дискретные случайные величины Пусть дана случайная величина x и множество значений этой величины {x k }. Пусть известны вероятности событий p(x k )-вероятности, что случайная величина x примет значение x k. Тогда говорят, что задано дискретное распределение случайной величины

7 Отметим важнейшие особенности случайных величин. Распределения случайных величин могут быть конечными и бесконечными. Примером конечного распределения может служить распределение случайной величины x - числа попаданий в цель при трех выстрелах. Очевидно,что x принимает значения из множества {0, 1, 2, 3}. Данное распределение конечное. Примером бесконечного распределения может служить распределение случайной величины x - числа выбрасывания двух кубиков до тех пор, пока не выпадет 12 очков. Очевидно, что теоретически величина x может принимать сколь угодно большие значения. Данное распределение бесконечное.

8 Конечное распределение Если мы имеем конечное распределение случайной величины x, принимающей n значений, то:

9 Бесконечное распределение

10 Пример В урне находится 6 белых и 4 черных шара. Из нее без возвращения вынимают 3 шара. Случайная величина x – число белых шаров среди вытащенных.

11 Очевидно, что x может принимать значения 0, 1, 2 и 3, т.е. мы имеем дело с конечным распределением. Найдем вероятности p(x).

12 P(x):

13 Запишем полученные результаты в таблицу: X0123 p(x)1/309/3015/305/30 Мы получили ряд распределения случайной величины x.

14 Распределение случайной величины Пусть случайная величина принимает числовые значение x k с вероятностями p k соответственно, причем Σp k =1. Тогда зависимость p k (x k ) называется законом распределения случайной величины x.

15 Математическое ожидание случайной величины. Пусть имеется случайная величина x и мы сделали N испытаний, получив N значений этой величины Тогда рассмотрим величину =Σx k /N при большом значении N. Мы обнаружим, что эта величина при больших N стремится к некоторому значению, которое называется математическим ожиданием случайной величины N.

16 Для известного закона распределения

17 Для нашего примера.

18 Физический смысл математического ожидания надо рассматривать для каждого случая отдельно. В нашем случае M(x)=1.8 означает, что если при повторении эксперимента n раз мы суммарно вытащили k,белых шаров, то при n k/n1.8

19 Пример В казино установлена следующая игра: на автомате выбрасываются 3 числа от 1 до 5. Цена игры 50 руб. Если выпадает 777, то игрок получает 1000 руб, любые другие три цифры – 250 руб. две по 5 – 100 руб, две любые другие цифры – 50 руб. Оценить месячный доход с автомата, если за месяц на нем играется около игр.

20 Найдем вероятности каждого выигрыша 1000 руб: p=1/ руб: p=4/ руб: p=(4·3)/125=12/ руб: p=(443)/125=48/125 Имеем ряд распределения: X P1/1254/12512/12548/125

21 Вычислим математическое ожидание Тогда за игр ожидается выигрыш руб, а получено с игроков руб. Доход составит руб.

22 Функция случайной величины. Пусть задана случайная величина x, ее ряд распределения и функция y=y(x). Тогда: Пример:

23 Дисперсия случайной величины

24 Можно получить

25 В нашем примере

26 Биномиальный закон распределения Пусть имеется некоторое событие, которое выполняется с вероятностью p не выполняется с вероятностью q=1-p. Пусть производится N независимых испытаний. Обозначим за p(n) – вероятность того, данное событие произойдет в n случаях.