Среди уравнений, данных на слайде, выбрать те, которые решаются Заменой переменной; Приведением к квадратному; Делением на старшую степень синуса или косинуса, - презентация

1 Среди уравнений, данных на слайде, выбрать те, которые решаются Заменой переменной; Приведением к квадратному; Делением на старшую степень синуса или косинуса, т. е. как однородные; Понижением степени; С помощью формул суммы или разности; Методом вспомогательного аргумента.

2 1. 2sin ²x - 5cos²x = 3sinx cosx 1. sin²x + cos²2x = 3/2. 1. cosx·sin7x = cos3x·sin5x, 2. sin²x - 2sinx – 3 = 0, 3. 2 cosx – sinx = 0, 4. sinx + sin3x = sin5x – sinx, 5. sinx – sin2x + sin3x – sin4x = 0, 6. 3sin²x + 2cos²x +2 cosx = 0, 7. sin²x - 3/3 sin2x = cos²x, 8. sinx + cosx = 1.

3 Приведением к квадратному и заменой переменной решаются уравнения 4, 8. sin²x - 2sinx – 3 = 0 пусть sinx = t, тогда t²+ 2 t – 3 = 0, где t = -3; 1. Учитывая, что lsinхl1, а -31, ЗНАЧИТ, cosx = -1, Х = ¶ + 2¶n, n Є Z. Ответ: ¶ + 2¶n, n Є Z.

4 Делением на старшую степень решаются уравнения 1, 5, 9. 2sin ²x - 5cos²x = 3sinx cosx Разделив каждое слагаемое на cos²x,получим. 2tg²х - 3tgх - 5 = 0, Пусть tgх = p, тогда 2p² - 3p - 5 = 0, где p = 2,5; - 1, tgх =2,5, х = arctg2,5 + ¶n, n Є Z; tgх = -1, х =¶/4 +¶n, n Є Z. Ответ: arctg2,5 + ¶n, n Є Z; ¶/4 +¶n, n Є Z.

5 Делением на старшую степень решаются уравнения 1, 5, 9. 2 cosx – sinx = 0l׃ cosx, cosx0, tgх = 2, х = arctg2 + ¶n, n Є Z ответ: arctg2 + ¶n, n Є Z

6 Делением на старшую степень решаются уравнения 1, 5, 9. sin²x - 3/ 3sin2x = cos²x l׃ cos²x, cosx0 tg²х - 3/3 tg x- 1=0, tgх = 3/6(1 ± 13), х = arctg 3/6(1 ± 13)+ ¶n, n Є Z; ответ: arctg 3/6(1 ± 13)+ ¶n, n Є Z

7 Понижение степени используют при решении уравнения 2. sin²x + cos²2x = 3/2 sin²x + ½(1 +cosx) =3/2, 2 sin²x + 1 +cosx -3 = 0, cos²x + 1 +cosx -3 = 0, 2 cos²x - cosx = 0, cosx(2 cosx – 1) = 0, cosx = 0 или cosx =1/2 Х = ¶/2 + ¶n, n Є Z или Х = ±¶/3 + 2¶n, n Є Z. Ответ: ±¶/3 + 2¶n, n Є Z; ¶/2 + ¶n, n Є Z.

8 С помощью формул суммы или разности решаются уравнения sinx + sin3x = sin5x – sinx 2 sin2x cosx - 2 sin2x cos3x = 0, sin2x (cosx - cos3x) = 0, sin²2x sinx = 0, sin2x = 0 или sinx = 0, Х = ¶/2 n, n Є Z или Х = ¶n, n Є Z. Объединив множества, получим, Х = ¶/2 n, n Є Z Ответ: ¶/2 n, n Є Z

9 Методом вспомогательного аргумента, который состоит в преобразовании выражения asinx ± bcosx к виду a² + b² sin(x±φ), где φ = b/a² + b² решается уравнение 10. sinx + cosx = 1. Учитывая, что a= 1, b = 1, получим уравнение 2 sin(x+φ) = 1, где φ = arcsin2/2, sin(x+¶/4) = 2/2, х = -¶/4 + (-1) ¶/4+¶ n, n Є Z. Ответ: -¶/4 + (-1) ¶/4+¶ n, n Є Z.

10 Найти а, при которых данные уравнения имеют решения : 2sinx -3 cosx = а. Поделим обе части уравнения на 2²+ 3² = 13, получим 2/13 sinx – 3/13cosx = а/13. Так как (2/13)² + (3/13) ² = 1, то, обозначая 2/13 = cosφ, 3/13 = sinφ, приведем уравнение к виду sin(х – φ) = а/13, где φ = arctg3/2. Из условия lsin(х – φ)l1 получаем lаl13. Ответ: а Є [-13;13].

11 Найти а, при которых данные уравнения имеют решения: а cosx – sinx = 3. Поделим обе части уравнения на (a²+ 1), получим а cosx/(a²+ 1) - sinx /(a²+ 1) = 3/(a²+ 1),где sinφ =а /(a²+ 1) cosφ =а /(a²+ 1),отсюда, sin (х – φ) = 3/(a²+ 1). Из условия 3/(a²+ 1)1 имеем a²+ 19, значит,lаl22. Ответ: а Є(-,-22]υ[ 22,+).

12 Найти а, при которых данные уравнения имеют решения : sin²x - 5 cosx + а = 0. Используя формулу sin²x + cos²x = 1, получим, 1 - cos²x - 5 cosx + а = 0. После замены cosx = t уравнение примет вид ƒ (t) = 0,.

13 Окончание решения уравнения sin²x - 5 cosx + а = 0. ƒ (t) = t²+ 5 t – (а + 1 ) абсцисса вершины параболы у = t²+ 5 t – (а + 1 ) t = -5/2 не принадлежит [-1;1], следовательно, уравнение ƒ (t) = 0 на отрезке [-1;1] может иметь не более одного корня. Искомые значения а находим из неравенства ƒ (-1) ƒ (1) 0, значит, (-5- а) (5 – а) 0. Ответ: а Є [-5;5].

14 Определить при каких значениях параметра а уравнения не имеют решений. х + 2х sinά - cos² ά + 2 sinά= 0, ά Є (-¶/2;¶/2) Уравнение не имеет решений, если 1/4D < 0, т. е. при условии sin²ά + cos² ά + 2 sinά < 0, sinά > ½, откуда, учитывая условие ά Є (-¶/2;¶/2), получаем ά Є (¶/6;¶/2). Ответ: ά Є (¶/6;¶/2).

15 Определить при каких значениях параметра а уравнения не имеют решений. 2 sinх = (а + 1)׃(а – 3), а 3. Уравнение не имеет корней при условии l(а + 1)׃(а – 3)l>2. Так как l а + 1l >2l а – 3)l, то (а а – 6)(а + 1 – 2а + 6)>0, А, отсюда, ( 3а – 5)(а – 7) < 0, поэтому, а Є ( 5/3;7). С учетом а 3, получим а Є ( 5/3;3)υ(3;7). Ответ: а Є ( 5/3;3)υ(3;7).

16 Домашнее задание. Выясните при каких значениях параметра а уравнения имеют решения: sinх + 2 cosx = а, sin ²x + 3sinx cosx - 2cos²x = а, sin2х = -3а² + 6а – 4

17 Домашнее задание. При каких значениях параметра а уравнения не имеют решений. 2tg²х + 5tgх + а = 0, sin ²x ²x – 2(а – 3) sinx + а² - 6а + 5 = 0