Применение неравенства Коши. Неравенство Коши: выполняется при неотрицательных a 1,a 2,…,a n. Его можно переписать следующим образом: - презентация

1 Применение неравенства Коши. Неравенство Коши: выполняется при неотрицательных a 1,a 2,…,a n. Его можно переписать следующим образом:

2 Рассмотрим частный случай неравенства Коши для n=2, т.е., или. Поскольку мы хотим воспользоваться неравенством для решения уравнений, нас интересует то, когда в неравенстве достигается равенство. Выясняем это с помощью преобразований: Отсюда следует, что если для всех других значений n условие также обеспечивает обращение неравенства Коши в равенство.

3 Пример 1. Решим уравнение: Решение. Сразу учтем область определения неизвестного: Исходя из вида левой части, можно догадаться, что целесообразно применить неравенство Коши для n=3. Но неравенство Коши выполняется для неотрицательных членов (множителей). Левая и правая части уравнения представляют собой нечетные функции. Отсюда следует, что корни уравнения – числа противоположные, поэтому достаточно решить уравнение для x>0. Преобразуем уравнение, умножив обе его части на x, так как x>0 Рассмотрим левую часть и оценим ее: т.е. а по условию таким образом, неравенство Коши обращается в равенство, а это возможно, если или Учитывая нечетность функций, входящих в уравнение, получаем: Ответ:

4 Решим уравнение: Решение. Оценим каждый арифметический корень: Найдем сумму полученных выражений: С учетом исходного уравнения запишем систему: отсюда или В полученном неравенстве при х=1 достигается равенство, следовательно, х=1 является единственным решением уравнения. Ответ: х=1.

5 Применение неравенства Коши. 8