Применение производной в экономике. Введение Производная функции играет важную роль в естественно-научных и инженерно- технических исследованиях. Для. - презентация

1 Применение производной в экономике

2 Введение Производная функции играет важную роль в естественно-научных и инженерно- технических исследованиях. Для многих отраслей науки она стала важным орудием количественного расчета, методом точного исследования и средством предельно четкой формулировки понятий и проблем. Производная является мощным средством решения прикладных задач.

3 Экономический смысл производной Пусть функция V = V(t) выражает количество произведенной продукции V за время t. Найдем производительность труда в момент времени t 0. За период времени от t 0 до t o + Δ t количество произведенной продукции изменится от значения V o =V(t o ) до значения V o + Δ V = V(t o + Δ t); тогда средняя производительность труда за этот период времени П ср.= Δ V/ Δ t. Очевидно, что производительность труда в момент t o можно определить как предельное значение средней производительности за период времени от t 0 до t o+Δ t при Δ t 0, т.е. П(t)=. Таким образом, экономический смысл производной заключается в том, что производная объема произведенной продукции по времени V(t) есть производительность труда в момент t o : П (t) = V (t)

4 Экономический смысл производной Рассмотрим еще одно понятие, иллюстрирующее экономический смысл производной. Издержки производства y будем рассматривать как функцию количества выпускаемой продукции x. Пусть Δ x - прирост продукции, тогда Δ y – приращение издержек производства и Δ y / Δ x - среднее приращение издержек производства на единицу продукции. Производная y = выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции: J (x) = y (x)

5 Предельные издержки зависят от уровня производства (количества выпускаемой продукции) x и определяются не постоянными производственными затратами, а лишь переменными (на сырье, топливо и т.п.). Аналогичным образом могут быть определены предельная выручка, предельный доход, предельный продукт, предельная полезность, предельная производительность и другие предельные величины. Предельные величины характеризуют не состояние, а процесс, изменение экономического объекта. Таким образом, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора.

6 Эластичность функции Для исследования экономических процессов и решения других прикладных задач часто используется понятие Для исследования экономических процессов и решения других прикладных задач часто используется понятие эластичности функции. Определение: Эластичностью функции Ex( y ) называется предел отношения относительного приращения функции у к относительному приращению переменной x при Δx 0: Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция y=f(x) при изменении независимой переменной x на 1%.

7 Задачи 1. Зависимость между издержками производства y (ден. ед.) и объемом выпускаемой продукции x (ед.) выражается функцией. Определить средние и предельные издержки при объеме продукции, равном 10 ед. Решение: Функция средних издержек выражается отношением Y 1 = y/x =, Y 1 (10) = 50-0,05100 = 45 (ден.ед.). Функция предельных издержек выражается производной, y(10) = 50-0,15100 = 35 (ден. ед.). Итак, если средние издержки на производство единицы продукции составляют 45 ден. ед., то предельные издержки, т.е. дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции при данном уровне производства, составляют 35 дн.ед.

8 Задачи Зависимость между стоимостью единицы продукции y (тыс.руб.) и выпуском продукции x (млрд.руб.) выражается функцией y=-0,5x+80. Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции, равном 60 млн.руб. Решение: По формуле эластичности себестоимости E x (y) =(-0,5x)/(-0,5x+80) = x/(x-160). При x = 60 E x=60 (y) = -0,6, т.е. При выпуске продукции, равном 60 млн. руб., увеличение его на 1% приведет к снижению себестоимости на 0,6%.

9 Задачи 3. Объем продукции V, произведенный бригадой рабочих, задается уравнением, 1 t 8, где t – рабочее время в часах. Вычислить производительность труда через час после начала работы и за час до ее окончания. 1 t 8, где t – рабочее время в часах. Вычислить производительность труда через час после начала работы и за час до ее окончания. Решение: Производительность труда выражается формулой, П(t) = (ед./ч). В заданные моменты времени t 1 =1 и t 2 = П (t) = V (t), П(t) = (ед./ч). В заданные моменты времени t 1 =1 и t 2 = 8-1 = 7 имеем: П(1) = 112,5 (ед.ч) и П(7) = 82,5 (ед.ч). Итак, к концу рабочего дя производительность существенно снижается.

10 Задачи 4. Опытным путем установлены функции спроса q=(p+8)/(p+2) и предложения s = p+0,5, где q и s – количество товара, соответственно покупаемого и предлагаемого на продажу в единицу времени, p - цена товара. Найти: а) равновесную цену, т.е. цену, при которой спрос и предложение уравновешиваются; б) эластичность спроса и предложения для этой цены; в) изменение дохода при увеличении цены на 5%от равновесной. а) Равновесная цена определяется из условия: q = s, т.е. (p+8)/(p+2) = p+0,5, откуда p = 2 – равновесная цена Решение: а) Равновесная цена определяется из условия: q = s, т.е. (p+8)/(p+2) = p+0,5, откуда p = 2 – равновесная цена б) Найдем эластичность по спросу и предложению: Ep(q) = (6p)/(p+2) Ep=2(q) =-0,3; 0,8. Таким образом, при увеличении цены p на 1% спрос уменьшится на 0,3%, а предложение увеличится на 0,8%. б) Найдем эластичность по спросу и предложению: Ep(q) = (6p)/(p+2)(p+8); Ep(s) = 2p/(2p+1). Для p = 2 имеем: Ep=2(q) =-0,3; Ep=2(s) = 0,8. Таким образом, при увеличении цены p на 1% спрос уменьшится на 0,3%, а предложение увеличится на 0,8%. в) При увеличении цены на 5% от равновесной спрос уменьшится на 50,3 = 1,5%, следовательно, доход возрастет на 3,5%. в) При увеличении цены на 5% от равновесной спрос уменьшится на 50,3 = 1,5%, следовательно, доход возрастет на 3,5%.

11