Перестановки. Задача 1. Антону, Борису и Виктору повезло, и они купили 3 билета на футбол на 1,2 и 3-е места первого ряда стадиона. Сколькими способами. - презентация

1 Перестановки

2 Задача 1. Антону, Борису и Виктору повезло, и они купили 3 билета на футбол на 1,2 и 3-е места первого ряда стадиона. Сколькими способами мальчики могут занять эти места?

3 Решение. Составим все возможные комбинации расположения мальчиков. 1место2место3место АБВ АВБ БАВ БВА ВАБ ВБА Возможно всего 6 таких комбинаций. Они отличаются друг от друга только порядком расположения в них элементов

4 Определение. Комбинации из n элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения в них элементов, называются перестановками из n элементов.

5 При формировании перестановки из n элементов первый элемент можно выбрать n способами, после чего второй элемент (n - 1) способами(так как один элемент уже выбран), после чего третий элемент (n - 2) способами и так далее. Всего получаем n (n - 1) (n- 2) (n - 3) … 2 1 перестановок.

6 Произведение натуральных чисел от 1 до n в математике называется факториалом числа n и обозначается n! n! = … (n- 2) (n - 1) n

7 Например, 4! = = 24 6! = = 720 Свойства факториала: (n +1)! = (n + 1) n! 0! = 1

8 P n =n! (пэ из эн). P n - перестановки из n элементов

9 Задача 2. Сколькими способами могут разместиться 4 пассажира в 4-х местной каюте?

10 Решение. Число различных способов равно числу перестановок из четырёх элементов. P 4 =4! = = 24 Ответ. 4 способами.

11 Задача 3. Сколькими способами можно разместить 5 человек на одной скамейке?

12 Решение. Число различных способов равно числу перестановок из пяти элементов. P 5 =5! = =120 Ответ. 120 способами.

13 Задача 4. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4 при условии, что в каждом из этих чисел все цифры различны?

14 Решение. Из цифр 0, 1, 2, 3, 4 можно получить P 5 перестановок. Из этого числа надо исключить те перестановки, которые начинаются с 0, так как натуральное число не может начинаться с цифры 0. Таких перестановок P 4. P 5 =5! = =120 P 4 =4! = = 24 Значит искомое число пятизначных чисел (без повторения цифр) можно составить P 5 - P 4 = 120 – 24 = 96 способами. Ответ. 96 способами.

15 Задача 5. Ольга помнит, что номер телефона подруги оканчивается цифрами 5, 7, 6, но забыла в каком порядке эти цифры следуют. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придётся перебрать, чтобы дозвониться подруге.

16 Решение. Число различных вариантов набора трёх последних цифр равно числу перестановок из трёх элементов. P 3 =3! = = 6 Ответ. 6 вариантов.

17 Задача 6. Имеется девять различных книг, четыре из которых – учебники. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы все учебники стояли рядом?

18 Решение. Сначала будем рассматривать учебники как одну книгу. Тогда на полке надо расставить не девять, а шесть книг. Это можно сделать P 6 способами. В каждой из полученных комбинаций можно выполнить P 4 перестановок учебников. Значит искомое число способов расположения книг на полке равно произведению P 6 P 4. P 6 P 4 = 6! 4! = = Ответ способами.

19 Домашнее задание. 1.Сколькими способами могут быть расставлены 8 участниц финального забега на восьми беговых дорожках? 2. Сколькими способами можно расставить на полке 12 книг, из которых 5 книг – это сборники стихов, так, чтобы сборники стихов стояли рядом в произвольном порядке? 3.Делится ли число 30! На 90?