Авторы: Соловьев Саша Перепелкина Катя. Ребро куба равно а. Найти расстояние между прямыми, на которых лежат скрещивающиеся диагонали двух смежных граней. - презентация

1 Авторы: Соловьев Саша Перепелкина Катя

2 Ребро куба равно а. Найти расстояние между прямыми, на которых лежат скрещивающиеся диагонали двух смежных граней куба. A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 A B C D

3 Доказать, что расстояние между скрещивающимися прямыми можно найти, используя метод объёмов.

4 построить пирамиду, в которой высота, опущенная из вершины этой пирамиды на плоскость основания, является искомым расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми; доказать, что эта высота и есть искомое расстояние найти объём этой пирамиды двумя способами и выразить эту высоту

5 Пусть АС и DC 1 – скрещивающиеся прямые, принадлежащие смежным граням АВСD и DD 1 C 1 C соответственно. Найдём расстояние между ними. A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 A B C D

6 A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 A C D B A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 A C D B Дополнительное построение: АВ 1, СВ 1 и DВ 1. Но (DD 1 С 1 )(АА 1 В 1 ),т.к. дан куб DС 1 ( DD 1 С 1 ) DС 1 АВ 1 АВ 1 (АА 1 В 1 ), В результате дополнительных построений мы получили пирамиду DAB 1 C. В пирамиде DAB 1 C, высота, опущенная из вершины D на плоскость основания AB 1 C будет являться искомым расстоянием между скрещивающимися прямыми АС и DC 1. Теперь докажем почему.

7 Высота, опущенная из вершины D на плоскость основания AB 1 C, перпендикулярна плоскости этого основания. Значит, она перпендикулярна любой прямой принадлежащей этой плоскости (по определению). Но АС (AB 1 C ) AB 1 (AB 1 C ) h | AB 1 h | (AB 1 C ) h | АС Но, с другой стороны АВ 1 DС 1 h | AB 1 Значит, h | DС 1. Имеем: h | DС 1 h | АС Следовательно, h – общий перпендикуляр для скрещивающихся прямых АС и DС 1. Что и требовалось доказать. Найдём эту высоту. A1A1 D1D1 B B1B1 C1C1 A C D

8 A B C D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 Рассмотрим пирамиду B 1 АCD: V 1 = ·h · S АСD. h = B 1 В = а S АСD =½·СD·АD= ½·а 2 Вывод: V 1 = ·½·а 3 а а а

9 Рассмотрим эту же пирамиду, но уже с вершиной в точке D: Учитывая, что V 1 = V 2, получим d= - искомое расстояние. А1А1 А В D C B1B1 C1C1 D1D1

10 Цель достигнута. В данной работе мы доказали, что расстояние между скрещивающимися прямыми можно найти с помощью теории объёмов. Этот метод очень интересен своей нестандартностью, красотой и индивидуальностью. Метод объёмов способствует развитию пространственного воображения и умению мысленно создавать представления о форме фигур

11 Ребро куба равно а. Найти расстояние между прямыми, на которых лежат скрещивающиеся диагонали двух смежных граней куба. A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 A B C D

12 Доказать, что расстояние между скрещивающимися прямыми можно определить используя метод проекций

13 Выбираем плоскость, перпендикулярную одной из скрещивающихся прямых Проецируем каждую прямую на эту плоскость Расстояние между проекциями будет расстоянием между скрещивающимися прямыми

14 β A1A1 C1C1 B1B1 D1D1 C A B D Q H β || DB BQ АС AH | QA 1 AH – искомое расстояние AH – искомое расстояние

15 B1B1 β A1A1 C1C1 D1D1 C B D Q H A

16 B1B1 β A1A1 C1C1 D1D1 C A B D Q H

17 Расстояние между скрещивающимися прямыми можно определить как расстояние между ортогональными проекциями этих прямых на плоскость проекций

18 Ребро куба равно а. Найти расстояние между прямыми, на которых лежат скрещивающиеся диагонали двух смежных граней куба. A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 A B C D