Научно - исследовательская работа «Геометрическая мозаика на плоскости» «Геометрическая мозаика на плоскости» Работу выполнил Ильичёв Евгений ученик 11. - презентация

1 Научно - исследовательская работа «Геометрическая мозаика на плоскости» «Геометрическая мозаика на плоскости» Работу выполнил Ильичёв Евгений ученик 11 класса Руководитель Ильичёва Н.И. учитель математики

2 Мозаики с древних времён привлекали к себе внимание людей. Мозаики являются объектом исследования математиков. Результаты здесь получены отечественными учёными академиками А. Д. Александровым, Б. Н. Делоне, Е. С. Фёдоровым. Введение.

3 Цели исследования : 1. Закрепить знания о свойствах правильных многоугольников в процессе исследования вопроса о покрытии плоскости правильными многоугольниками. 2. Обосновать с помощью математических фактов, как можно уложить мозаику на плоскости вокруг одной точки без просвета. 3. Убедиться в практической значимости исследуемой гипотезы.

4 Проблема Как устроена геометрическая мозаика на плоскости? Из скольких разных фигур правильных многоугольников можно сложить мозаику на плоскости вокруг одной точки без просвета? Выяснить значимость изучаемой работы в нашей жизни.

5 Что такое мозаика? Математик, так же как и художник или поэт, создает узоры. (Г. Харди.) Мозаика – это бесконечное семейство многоугольников, покрывающее плоскость без просветов и двойных покрытий. Мозаика производит приятное впечатление, если она достаточно симметрична.

6 Красивую мозаику можно составить из равносторонних треугольников, квадратов и из правильных многоугольников. При схождении в одной вершине 7 и более многоугольников хотя бы один угол в правильном многоугольнике должен быть менее 60, что невозможно. При схождении в одной вершине 2 многоугольников у одного из них внутренний угол должен быть более 180, что, очевидно, также невозможно. Решение задачи распадается на анализ тех вариантов, когда в вершине сходятся 3, 4, 5 и 6 правильных многоугольников.

7 Вокруг одной точки можно уложить плоскость без просвета: 1. С помощью одноимённых правильных многоугольников: 4 правильными четырехугольниками (квадратами); 3 правильными шестиугольниками; 6 правильными треугольниками.

8 n – число сторон правильного многоугольника, тогда ( n – 2 ) · 180 – сумма всех внутренних углов многоугольника и ( n – 2 ) · 180/n – каждый угол правильного многоугольника. Если n = 3, то значит это возможно сделать правильными треугольниками и их число равно 360 : 60 = 6. С помощью 6 правильных треугольников

9 С помощью 4 квадратов Если n = 4, то значит это возможно сделать правильными четырехугольниками и их число равно 360 : 90 = 4

10 С помощью 3 шестиугольников Если n = 6, то значит это возможно сделать правильными шестиугольниками и их число равно 360 : 120 = 3

11 Вокруг одной точки можно уложить плоскость без просвета: 2. С помощью правильных многоугольников двух различных форм: 3 треугольниками и 2 четырёхугольниками; 4 треугольниками и 1 шестиугольником; 2 треугольниками и 2 шестиугольниками; 1 четырёхугольником и 2 восьмиугольниками; 1 треугольником и 2 двенадцатиугольниками.

12 С помощью 3 треугольников и 2 квадратов: n – количество треугольников, m – количество квадратов, тогда согласно гипотезе должно выполняться равенство 60n+90m=360. Если n = 3, то 90m = ·3; 90m = 180; m = 2.

13 Вокруг одной точки можно уложить плоскость без просвета: 3. С помощью правильных многоугольников трех различных форм: 1 треугольником, 2 четырёхугольниками и 1 шестиугольником; 2 треугольниками, 1 четырёхугольником и 1 двенадцатиугольником; 1 четырёхугольником, 1 шестиугольником и 1 двенадцатиугольником.

14 С помощью 1 треугольника, 2 квадратов и 1 шестиугольника. n – количество треугольников, m – количество четырёхугольников, k – количество шестиугольников, тогда согласно гипотезе должно выполняться равенство 60n+90m+120k =360. Если n = 1, m =2, то 120k = ·1- 90·2; 120k = 120; k =1.

15 Мозаики в природе Проявление свойств мозаик сказываются на свойствах различных природных минералах и кристаллов. Форму геометрических мозаик имеют соты мёдоносных пчёл. Ячейки сота имеют правильную шестигранную форму.

16 Применение Геометрическая мозаика широко встречается и используется: в строительстве и ремонте жилых помещений; в спортивных играх; в декоративно - прикладном искусстве;

17 Заключение В вершине мозаики может сходиться не более 6 и не менее 3 правильных многоугольников. Существует только конечное число мозаик: 11. «Геометрия как один из разделов математики- это не только стройная система законов, но и уникальное средство познания мира».