Синус, косинус и тангенс угла Подготовила: учитель математики МОУ сош 30 имени А.И.Колдунова Кутоманова Е.М. 2010-2011 учебный год. - презентация

1 Синус, косинус и тангенс угла Подготовила: учитель математики МОУ сош 30 имени А.И.Колдунова Кутоманова Е.М учебный год

2 1.Определение тригонометрических функций Синусом угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе: sin = ВС:АВ Косинусом угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos = АС:АВ Тангенсом угла называется отношение противолежащего катета к прилежащему: tg = ВС:АС Котангенсом угла называется отношение прилежащего катета к противолежащему: ctg = АС:ВС Пример. Дано:а = 5, b = 12, c = 13. Найти: sinA, cosA, tgA, ctgA Решение: sinA = а:с, sinA = 5:13, cosA = в:с, cosA = 12:13, tgA = а:в, tgA = 5:12, ctgA = в:а, ctgA = 12:5. AC B

3 2.Синус, косинус, тангенс Введём прямоугольную систему координат Оху. Построим полуокружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1. Эту полуокружность назовём единичной полуокружностью. α-угол между лучом h и положительной полуосью Ох. Из ΔОМD-прямоугольного имеем: sinα=МD:ОМ, соsα=ОD:ОМ. Т.к. ОМ=1, МD=у, ОD=х, то sinα=у, соsα=х. Выполним у С (0;1) h М(х,у)М(х,у) В (-1;0) 0 α D А (1;0) х

4 Итак, синус острого угла α равен ординате точки М, а косинус угла α – абсциссе точки М. Если угол α прямой, тупой, развёрнутый или α=0°, то синус, косинус угла α также определяем по формулам sinα=у, соsα=х. Т.е. 0 sinα1, -1 соsα1. Замечание: sin0°=0, sin90°=1, sin180°=0, соs0°=1, соs90°=0, соs180°=1.

5 Тангенсом угла α называется отношение sinα к соsα, т.е.tgα=sinα:соsα. При α=90° tgα не определён, т.к. соs90°=0. Т.к. sin0°=0 и соs0°=1, то tg 0°=0. Т.к. sin180°=0 и соs180°=1, то tg 180°=0

6 Котангенсом угла α называется отношение соsα к sinα, т.е.сtgα=соsα :sinα. При α=0° сtgα не определён, т.к. sin0°=0. При α=180° сtgα не определён, т.к. sin180°=0.

7 3.Основное тригонометрическое тождество Единичная полуокружность АСВ с центром О является дугой окружности, уравнение которой имеет вид х²+у²=1. Выполним 1012 (для точек М и М). Т.к. sinα=у, соsα=х, то sin ² α+ соs ² α=1. Данное равенство выполняется для любого α, 0°α180°. sin ² α+ соs ² α=1 – основное тригонометрическое тождество Выполним 1013а, 1014а, 1015а.

8 4.Формулы приведения Справедливы следующие тождества: при 0°α90° sin(90 °-α)= соs α, соs(90 °-α)= sinα, tg(90 °-α)= сtgα; при 0°α180° sin(180 °-α)= sinα, соs(180 °-α)= -соsα, tg(180 °-α)=- tgα. Выполним 1016.

9 Построение угла, если известно значение тригонометрической функции этого угла. 1.Построим угол α, если sin α =0,25. Построение: 1)В системе координат Оху построим единичную полуокружность с центром в начале координат. 2)Проведём прямую у=0,25. 3)Прямая пересекла полуокружность в точках М и Р. 4)Проведём лучи ОР и ОМ. Углы АОР и АОМ – искомые. Задача имеет два решения. у у МР ОАх

10 2.Построим угол α, если соs α =0,25. Построение: 1)В системе координат Оху построим единичную полуокружность с центром в начале координат. 2)Проведём прямую х=0,25. 3)Прямая пересекла в точке М полуокружность. 4)Проведём луч ОМ. Угол АОМ – искомый. Задача имеет одно решение. уМ ОАх

11 2.Построим угол α, если соs α =-0,5. Построение: 1)В системе координат Оху построим единичную полуокружность с центром в начале координат. 2)Проведём прямую х=-0,5. 3)Прямая пересекла в точке М полуокружность. 4)Проведём луч ОМ. Угол АОМ – искомый. Задача имеет одно решение. у М ОАх

12 Формулы для вычисления координат точки Пусть А(х,у),у0. М(соsα,sinα)- точка пересечения луча ОА и положительной полуоси Ох, α – угол между лучом ОА и положительной полуосью Ох. Вектор ОА имеет координаты{х,у}, вектор ОМ - {соsα,sinα}. Тогда х= ОА соsα, у=ОА sinα. Выполним 1018(г,д), 1019(а) у хО А(х,у)А(х,у) М (со sα,sinα )

13 Самостоятельная работа 1 вариант2 вариант Постройте угол А, если 1) sinА=3/51) sinА=2/5 2) соsА=3/42) соsА=-3/4 3) соsА=-2/33) соsА=2/3 1018(а)1018(б) Домашнее задание §1, п.95, 1017, 1018(в), 1019(б)