Свойства функции Домашнее задание: П2, выучить определения. - презентация

1 Свойства функции Домашнее задание: П2, выучить определения

2 Различные способы задания функции Аналитический, графический, табличный – наиболее простые, а потому наиболее популярные способы задания функции, для наших нужд этих способов вполне достаточно. Аналитическийграфическийтабличный На самом деле в математике имеется довольно много различных способов задания функции и один из них – словесный, который используется в весьма своеобразных ситуациях.

3 Словесный способ задания функции Функция может быть задана и словесно, т. е. описательно. Например, так называемая функция Дирихле задается следующим образом:Дирихле функция у равна 0 для всех рациональных и 1 для всех иррациональных значений аргумента х. Такая функция не может быть задана таблицей, так как она определяется на всей числовой оси и множество значений ее аргумента бесконечно. Графически данная функция также не может быть задана. Аналитическое выражение Аналитическое выражение для этой функции было, все же найдено, но оно так сложно, что не имеет практического значения. Словесный же способ дает краткое и ясное ее определение.

4 наибольшие возможности для применения аналитический способнаибольшей наглядностьюграфический Из всех указанных способов задания функции наибольшие возможности для применения аппарата математического анализа дает аналитический способ, а наибольшей наглядностью обладает графический. аналитических и геометрических методов Вот почему математический анализ основывается на глубоком синтезе аналитических и геометрических методов. Исследование функций, заданных аналитически, проводится гораздо легче и становится наглядным, если параллельно рассматривать и графики этих функций.

5 Нули функции Значения аргумента, при которых функция обращается в ноль, называются нулями функции х у У=f(х) 0 у = 0 или f(x) = 0 находим х х0х0 х 0 делит область определения на промежутки f(х) 0 f(х)>0 f(х)

6 Исследование функций на монотонность если двигаться по графику слева направо, то ординаты точек графика всё время увеличиваются («поднимаемся в горку»); - функция возрастает; если двигаться по графику слева направо, то ординаты точек графика всё время уменьшаются («спускаемся с горки»); - функция убывает. у х о y=f(x) y x o Функция возрастает, если большему (меньшему) значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции. Функция убывает, если большему (меньшему) значению аргумента соответствует меньшее (большее) значение функции.

7 Определение 1. Функция у = f (х) называют возрастающей на промежутке Х, если из неравенства х 1 < х 2, где х 1 и х 2 – любые две точки промежутка Х, следует неравенство f (х 1 ) < f (х 2 ). Определение 2. Функция у = f (х) называют убывающей на промежутке Х, если из неравенства х 1 f (х 2 ). у х у х оо х1х1 х2х2 х1х1 х2х2 f (x 1 ) f (x 2 ) f (x 1 )

8 1. Линейная функция у = kx + m. 2. Если k < 0, то функция убывает на всей числовой прямой. у х о у х о 1. Если k > 0, то функция возрастает на всей числовой прямой.

9 2. Функция у = х 2. х о у у=х 2 2. у = х 2, х [0,+ ) возрастает на луче [0,+ ). 1. у = х 2, х (-,0] убывает на луче (-,0].

10 3. Функция хо у функция убывает на открытом луче (0,+ ) функция убывает на открытом луче (- ;0)

11

12 х у У=f(х) 0

13 х у=х

14 Великий математик - Дирихле В профессор Берлинского, с 1855 Гёттингенского университетов. Основные труды по теории чисел и математическому анализу. В области математического анализа Дирихле впервые точно сформулировал и исследовал понятие условной сходимости ряда, установил признак сходимости ряда (т.н. признак Дирихле, 1862), дал (1829) строгое доказательство возможности разложения в ряд Фурье функции, имеющей конечное число максимумов и минимумов. Значительные работы Дирихле посвящены механике и математической физике (принцип Дирихле в теории гармонической функции). Дирихле Петер Густав Лежён ( ) Немецкий математик, иностранный чл.-корр. Петербургской АН (с ), член Лондонского королевского общества (1855), Парижской АН (1854), Берлинской АН. Дирихле доказал теорему о существовании бесконечно большого числа простых чисел во всякой арифметической прогрессии из целых чисел, первый член и разность которой - числа взаимно простые и изучал (1837) закон распределения простых чисел в арифметических прогрессиях, в связи с чем ввел функциональные ряды особого вида (т.н. ряды Дирихле).

15