РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ Расстоянием от точки до плоскости в пространстве называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную. - презентация

1 РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ Расстоянием от точки до плоскости в пространстве называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную плоскость.

2 РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ 2 Иногда основание перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость, не попадает на участок плоскости, изображенный на рисунке. В этом случае можно воспользоваться тем, что расстояние от точки до плоскости равно расстоянию от прямой, проходящей через данную точку и параллельной данной плоскости, до этой плоскости. При этом перпендикуляр, опущенный из любой точки этой прямой на данную плоскость, будет равен расстоянию от исходной точки до плоскости.

3 РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ 3 Расстояние от точки до плоскости равно также расстоянию между параллельными плоскостями, одна из которых – данная плоскость, а другая проходит через данную точку. При этом перпендикуляр, опущенный из любой точки этой плоскости на данную плоскость, будет равен расстоянию от исходной точки до плоскости.

4 В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки A до плоскости BCC 1. Ответ: 1. Куб 1

5 В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки A до плоскости CDD 1. Ответ: 1. Куб 2

6 В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки A до плоскости A 1 B 1 C 1. Ответ: 1. Куб 3

7 В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки A до плоскости BB 1 D 1. Ответ: Куб 4

8 В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки A до плоскости BCD 1. Ответ: Куб 5

9 В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки A до плоскости CDA 1. Ответ: Куб 6

10 В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки A до плоскости BDA 1. Ответ: Решение: Диагональ AC 1 куба перпендикулярна плоскости BDA 1. Обозначим O - центр грани ABCD, E - точка пересечения AC 1 и плоскости BDA 1. Длина отрезка AE будет искомым расстоянием. В прямоугольном треугольнике AOA 1 имеем AA 1 = 1; AO = ; OA 1 =. Следовательно, AE = Куб 7

11 В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки A до плоскости CB 1 D 1. Ответ: Решение: Плоскость CB 1 D 1 параллельна плоскости BDA 1, и отстоит от вершины C 1 на расстояние (см. предыдущую задачу). Учитывая, что длина диагонали куба равна, получим, что искомое расстояние AF равно. Куб 8

12 В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки A до плоскости, проходящей через вершины C, A 1 и середину ребра BB 1. Куб 9 Ответ: Решение: Сечением куба данной плоскостью является ромб CEA 1 F. Искомое расстояние равно высоте AH прямоугольного треугольника ACA 1. AA 1 = 1, AC =, CA 1 =. Следовательно, AH =.

13 В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки A до плоскости BC 1 D. Ответ: Решение: Обозначим O и O 1 – центры граней куба. Прямая AO 1 параллельна плоскости BC 1 D и, следовательно, расстояние от точки A до плоскости BC 1 D равно расстоянию от точки O 1 до этой плоскости, т.е. высоте O 1 E треугольника OO 1 C 1. Имеем OO 1 = 1; O 1 C = ; OC 1 =. Следовательно, O 1 E = Куб 10

14 В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки A до плоскости BA 1 C 1. Ответ: Решение: Прямая AC параллельна плоскости BA 1 C 1. Следовательно, искомое расстояние равно расстоянию от центра O грани ABCD куба до плоскости BA 1 C 1. Из предыдущей задачи следует, что это расстояние равно Куб 11

15 В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки A до плоскости, проходящей через вершины C, B 1 и середину ребра DD 1. Куб 12 Ответ: 1. Решение: Сечением куба данной плоскостью является равнобедренная трапеция CEFB 1. Плоскость ABC 1 перпендикулярна плоскости CEF. Искомое расстояние равно высоте AH треугольника APQ. Имеем AP =, AQ =, PQ =. Следовательно, высота AH равна высоте PG треугольника APQ и равна 1.

16 В правильном тетраэдре ABCD найдите расстояние от вершины D до плоскости ABC. Ответ: Решение. Обозначим E середину BC. Искомое расстояние равно высоте DH треугольника ADE, для которого DE =, HE =. Следовательно, DH = Пирамида 1

17 Основанием треугольной пирамиде SABC является прямоугольный треугольник с катетами, равными 1. Боковые ребра пирамиды равны 1. Найдите расстояние от вершины S до плоскости ABC. Решение. Из равенства боковых ребер следует, что основанием перпендикуляра, опущенного из вершины S на плоскость ABC, является центр окружности, описанной около треугольника ABC, т.е. середина D стороны AC. Треугольник ACS – прямоугольный и равнобедренный. Следовательно, искомый перпендикуляр SD равен Ответ: Пирамида 2

18 В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от вершины S до плоскости ABC. Ответ: Решение. Искомое расстояние равно высоте SO треугольника SAC, в котором SA = SC = 1, AC = Следовательно, SO = Пирамида 3

19 В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до плоскости SBC. Ответ: Решение. Обозначим E, F – середины ребер AD, BC. Искомое расстояние равно высоте EH треугольника SEF, в котором SE = SF =, EF = 1. Откуда, EH = Пирамида 4

20 В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до плоскости SBD. Ответ: Пирамида 5

21 В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите расстояние от вершины S до плоскости ABC. Ответ: Решение. Искомое расстояние равно высоте SO равностороннего треугольника SAD. Оно равно Пирамида 6

22 В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите расстояние от точки A до плоскости SBE. Ответ: Пирамида 7

23 В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите расстояние от точки A до плоскости SCE. Ответ: Решение. Обозначим G точку пересечения AD и CE. Искомое расстояние равно высоте AH треугольника SAG, в котором SA = 2, SG =, AG =, SO = Откуда AH = Пирамида 8

24 В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите расстояние от точки A до плоскости SBF. Пирамида 9 Ответ: Решение. Обозначим G точку пересечения AD и BF. Искомое расстояние равно высоте AH треугольника SAG, в котором SA = 2, SG =, AG =, SO = Откуда AH =

25 В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите расстояние от точки A до плоскости SBC. Ответ: Решение. Пусть O – центр основания, G – середина ребра BC. Искомое расстояние равно высоте OH треугольника SOG, в котором SO =, OG =, SG = Откуда OH = Пирамида 10

26 В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите расстояние от точки A до плоскости SCD. Ответ: Решение. Пусть P, Q – середины ребер AF, CD. Искомое расстояние равно высоте PH треугольника SPQ, в котором PQ = SO =, SP = SQ =. Откуда PH = Пирамида 11

27 В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите расстояние от точки A до плоскости SBD. Ответ: Решение. Пусть P, Q – середины отрезков AE, BD. Искомое расстояние равно высоте PH треугольника SPQ, в котором PQ = 1, SP = SQ =, SO = Откуда PH = Пирамида 12

28 В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между точкой A и плоскостью A 1 B 1 C 1. Ответ: 1. Призма 1

29 В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между точкой A и плоскостью BB 1 C 1. Ответ: Призма 2

30 В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между точкой A и плоскостью BCA 1. Ответ: Решение: Через точки A 1 и D – середину ребра BC, проведем прямую. Искомым расстоянием будет расстояние AE от точки A до этой прямой. В прямоугольном треугольнике ADA 1 имеем, AA 1 = 1, AD =, DA 1 =. Следовательно, AE = Призма 3

31 В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между точкой A и плоскостью A 1 B 1 C. Ответ: Решение: Достроим данную треугольную призму до четырехугольной. Искомым расстоянием будет расстояние от точки A 1 до плоскости CDA 1 в призме A … D 1. Это расстояние мы нашли в предыдущей задаче. Оно равно Призма 4

32 В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между точкой A и плоскостью A 1 C 1 B. Решение: Искомое расстояние равно расстоянию от точки A до плоскости A 1 B 1 C из предыдущей задачи. Ответ: Призма 5

33 В треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 все ребра равны 1, углы A 1 AB и A 1 AC равны 60 о. Найдите расстояние от вершины C 1 до плоскости A 1 B 1 C. Решение. Пирамида A 1 BB 1 C 1 C – правильная с вершиной A 1, в основании которой квадрат. Следовательно, основанием перпендикуляра, опущенного из вершины C 1 на плоскость A 1 B 1 C, является середина D отрезка B 1 C. Длина этого перпендикуляра равна Ответ: Призма 6

34 В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до плоскости A 1 B 1 C 1. Ответ: 1. Призма 7

35 В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до плоскости DEE 1. Решение: Искомым расстоянием является длина отрезка AE. Она равна. Ответ:. Призма 8

36 В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до плоскости CDD 1. Решение: Искомым расстоянием является длина отрезка AC. Она равна. Ответ:. Призма 9

37 В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до плоскости BCC 1. Ответ: Решение: Продолжим отрезки CB и FA до пересечения в точке G. Треугольник ABG равносторонний. Искомым расстоянием является длина высоты AH треугольника ABG. Она равна Призма 10

38 В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до плоскости BDD 1. Ответ: 1. Решение: Искомым расстоянием является длина отрезка AB. Она равна 1. Призма 11

39 В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до плоскости BEE 1. Ответ: Решение: Пусть O – центр нижнего основания. Треугольник ABO – равносторонний. Искомое расстояние равно высоте AH этого треугольника. Она равна Призма 12

40 В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до плоскости BFF 1. Ответ: Решение: Пусть O – центр нижнего основания, H – точка пересечения AO и BF. Тогда AH – искомое расстояние. Оно равно Призма 14

41 В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до плоскости CEE 1. Ответ: Решение: Проведем диагональ AD. Обозначим H – ее точку пересечения с CE. AH – искомое расстояние. Оно равно Призма 15

42 В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до плоскости CFF 1. Ответ: Решение: Проведем отрезок AE. Обозначим H – его точку пересечения с CА. AH – искомое расстояние. Оно равно Призма 16

43 В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до плоскости BA 1 E 1. Ответ: Решение: Искомым расстоянием является длина перпендикуляра AH, опущенного из точки A на прямую A 1 B. Оно равно Призма 17

44 В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до плоскости A 1 B 1 D. Ответ:. Решение: Искомым расстоянием является длина перпендикуляра AH, опущенного из точки A на прямую A 1 E. Для его нахождения рассмотрим прямоугольный треугольник AEA 1. Имеем AA 1 = 1, AE =, A 1 E = 2. Следовательно, угол AEA 1 равен 30 о и высота AH равна. Призма 18

45 В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до плоскости A 1 B 1 C. Решение: Искомое расстояние равно высоте AH прямоугольного треугольника AGA 1, в котором AA 1 = 1, AG =, GA 1 = Ответ: Из подобия треугольников AA 1 G и HAG находим AH = Призма 19

46 В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до плоскости F 1 C 1 D. Решение: Заметим, что данная плоскость параллельна плоскости A 1 B 1 C из предыдущей задачи, причем AE = 2AG. Следовательно, искомое расстояние AH от точки A до плоскости F 1 C 1 D в два раза больше расстояния от точки A до плоскости A 1 B 1 C, т.е. равно Ответ: Призма 20