Проект по геометрии из раздела: «Четырехугольники» Работу выполнила: Ученица 8-а класса Рыскова Екатерина Учитель – Гончаров О. Н. МОУ «Верхопенская средняя. - презентация

1 Проект по геометрии из раздела: «Четырехугольники» Работу выполнила: Ученица 8-а класса Рыскова Екатерина Учитель – Гончаров О. Н. МОУ «Верхопенская средняя общеобразовательная школа имени М. Р. Абросимова» Параллелограмм

2 Виды четырехугольников Четырехугольник: Произвольный Трапеция Параллелограмм произвольный прямоугольник или ромб квадрат параллелограмм трапеция прямоугольникромб квадрат

3 Параллелограмм Определение. Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.

4 Признак параллелограмма Теорема. Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

5 Признак параллелограмма Доказательство. Пусть АВСВ – данный четырёхугольник и О – точка пересечения его диагоналей. Треугольники АОD и СОВ равны. У них углы при вершине О равны как вертикальные, а ОD = ОВ и ОА = ОС по условию теоремы. Значит, углы ОВС и ОDА равны, а они являются внутренними накрест лежащими для прямых АD и ВС и секущей ВD. По признаку параллельности прямых прямые АD и ВС параллельны. Так же доказывается параллельность прямых АВ и СD с помощью равенства треугольников АОВ и СОD. Так как противолежащие стороны четырёхугольника параллельны, то по определению этот четырехугольник - параллелограмм. Теорема доказана.

6 Свойства диагоналей параллелограмма Теорема. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

7 Свойства диагоналей параллелограмма Доказательство. Пусть АВСD – данный параллелограмм. Проведём его диагональ ВD. Отметим на ней середину О и на продолжении отрезка АО Отложим отрезок ОС 1 равный АО. По теореме параллельности четырёхугольника четырехугольник АВС 1 D есть параллелограмм. Следовательно, прямая ВС 1 параллельна АD. Но через точку В можно провести только одну прямую, параллельную АD. Значит, прямая ВС 1 совпадает с прямой ВС. Аналогично доказывается, что прямая DС 1 совпадает с прямой DС. Значит, точка С 1 совпадает с точкой С. Параллелограмм АВСD совпадает с параллелограммом АВС 1 D. Поэтому его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Теорема доказана.

8 Свойство отрезков прямой, проходящей через точку пересечения диагоналей параллелограмма Теорема. Отрезок прямой, проходящий через точку пересечения диагоналей параллелограмма, заключенный между параллельными сторонами, делится этой точкой пополам.

9 Свойство отрезков прямой, проходящей через точку пересечения диагоналей параллелограмма Доказательство. Пусть АВСD – данный параллелограмм и EF – прямая, пересекающая параллельные стороны АD и ВС. Треугольники ВОЕ и FОD равны по второму признаку. У них ВО и ОD равны, так как О – середина диагонали АС. Углы при вершине И равны как вертикальные, а углы ВОЕ и FОD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных АD, ВС и секущей ВD. Из равенства треугольников следует равенство сторон ОЕ и ОF. Теореме доказана.

10 Свойство противолежащих сторон и углов параллелограмма Теорема. У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.

11 Свойство противолежащих сторон и углов параллелограмма Доказательство Пусть АВСD – данный параллелограмм. Проведём диагонали параллелограмма. Пусть О – точка их пересечения. Равенство противолежащих сторон АВ и СD следует из равенства треугольников АОВ и СОD. У них углы при вершине О равны как вертикальные, а ОА = ОС и ОВ = ОD по свойству диагоналей параллелограмма. Точно так же из равенства треугольников АОD и СОВ следует равенство другой пары противолежащих сторон - АD и ВС. Теорема доказана.

12 Свойство противолежащих сторон и углов параллелограмма Теорема. У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.

13 Свойство противолежащих сторон и углов параллелограмма Доказательство Пусть АВСD – данный параллелограмм. Проведём диагонали параллелограмма. Пусть О – точка их пересечения. Равенство противолежащих углов АВС и СDА следует из равенства треугольников АВС и СDА (по трём сторонам). У них АВ = СD и ВС = DА по доказанному, а сторона АС общая. Точно так же равенство противолежащих углов ВСD и DАВ. Теорема доказана.

14 СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ