МНОГОГРАННИКИ Многогранником называется тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников, называемых гранями многогранника. Стороны. - презентация

1 МНОГОГРАННИКИ Многогранником называется тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников, называемых гранями многогранника. Стороны и вершины этих многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника. Отрезки, соединяющие вершины многогранника, не принадлежащие одной грани, называются диагоналями многогранника. Многогранник называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками он содержит и соединяющий их отрезок. На рисунках приведены примеры выпуклых и невыпуклых многогранников.

2 МНОГОГРАННИКИ Пространственные представления о многогранниках предполагают не только знание определений тех или иных многогранников, но и умения: 1) среди моделей многогранников указывать многогранники данного типа; 2) приводить примеры окружающих предметов, имеющих форму многогранников; 3) распознавать изображения многогранников среди данных изображений пространственных фигур; 4) изображать различные многогранники на бумаге; 5) изготавливать модели многогранников; 6) решать задачи на нахождение числа вершин, ребер и граней многогранников; 7) приводить примеры многогранников с заданным числом вершин, ребер, граней.

3 КУБ 1 Кубом называется многогранник, поверхность которого состоит из шести квадратов. На рисунке даны несколько изображений куба.

4 КУБ 2 Обычно куб изображается так, как показано на рисунке. А именно, рисуется квадрат ABB 1 A 1, изображающий одну из граней куба, и равный ему квадрат DCC 1 D 1, стороны которого параллельны соответствующим сторонам квадрата ABB 1 A 1. Соответствующие вершины этих квадратов соединяются отрезками. Отрезки, изображающие невидимые ребра куба, проводятся пунктиром.

5 КУБ 3 На рисунках показаны несколько изображений куба. На рисунке а) мы смотрим на куб сверху и справа; б) сверху и слева; в) снизу и справа; г) снизу и слева.

6 Упражнение 1 Сколько вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) имеет куб? Ответ. В = 8, Р = 12, Г = 6.

7 Упражнение 2 Изобразите куб на клетчатой бумаге, аналогично данному на рисунке.

8 Упражнение 3 На рисунке изображены три ребра куба. Изобразите весь куб. Ответ.

9 Упражнение 4 На рисунке изображены три ребра куба. Изобразите весь куб. Ответ.

10 Упражнение 5 На рисунке изображены три ребра куба. Изобразите весь куб. Ответ.

11 Упражнение 6 На рисунке изображены три ребра куба. Изобразите весь куб. Ответ.

12 Упражнение 7 Сколько имеется путей длины 3 по ребрам единичного куба из вершины A в вершину C 1 ? Ответ. 6.

13 Упражнение 8 На рисунке изображены два единичных куба. Сколько имеется путей длины 4 по ребрам этих кубов из вершины A в вершину D 1 ? Ответ. 12.

14 ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД 1 Параллелепипедом называется многогранник, поверхность которого состоит из шести параллелограммов. Прямоугольным параллелепипедом называется параллелепипед, грани которого – прямоугольники. Обычно параллелепипед изображается так, как показано на рисунке. А именно, рисуется параллелограмм ABB 1 A 1, изображающий одну из граней параллелепипеда, и равный ему параллелограмм DCC 1 D 1, стороны которого параллельны соответствующим сторонам параллелограмма ABB 1 A 1. Соответствующие вершины этих параллелограммов соединяются отрезками. Отрезки, изображающие невидимые ребра куба, проводятся пунктиром. В случае прямоугольного параллелепипеда вместо параллелограммов, изображающих две грани, рисуются равные прямоугольники.

15 ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД 2 На рисунках показаны некоторые изображения параллелепипедов.

16 ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД 3 На рисунке а) мы смотрим на параллелепипед сверху и справа; б) сверху и слева; в) снизу и справа; г) снизу и слева.

17 Упражнение 1 Укажите номера рисунков, на которых изображен параллелепипед? Ответ: 1, 3, 4.

18 Упражнение 2 Сколько вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) имеет параллелепипед? Ответ. В = 8, Р = 12, Г = 6.

19 Упражнение 3 Изобразите прямоугольный параллелепипед на клетчатой бумаге, аналогично данному на рисунке.

20 Упражнение 4 На рисунке изображены три ребра прямоугольного параллелепипеда. Изобразите весь параллелепипед. Ответ.

21 Упражнение 5 На рисунке изображены три ребра прямоугольного параллелепипеда. Изобразите весь параллелепипед. Ответ.

22 Упражнение 6 На рисунке изображены три ребра прямоугольного параллелепипеда. Изобразите весь параллелепипед. Ответ.

23 Упражнение 7 На рисунке изображены три ребра прямоугольного параллелепипеда. Изобразите весь параллелепипед. Ответ.

24 ПРИЗМА Призмой называется многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников, называемых основаниями призмы, и параллелограммов, имеющих общие стороны с каждым из оснований и называемых боковыми гранями призмы. Стороны боковых граней, не лежащие в основаниях, называются боковыми ребрами призмы. Призма называется n-угольной, если ее основаниями являются n- угольники. На рисунке изображены треугольная, четырехугольная, пятиугольная и шестиугольная призмы.

25 ПРЯМАЯ ПРИЗМА Призма называется прямой, если её боковые грани – прямоугольники. На рисунке изображена прямая треугольная призма. Её основаниями являются треугольники ABC и A 1 B 1 C 1, боковыми гранями – прямоугольники ABB 1 A 1, ACC 1 A 1, BCC 1 B 1.

26 ПРАВИЛЬНАЯ ПРИЗМА Прямая призма называется правильной, если её основания – правильные многоугольники. На рисунке изображена правильная шестиугольная призма. Ее основания изображаются шестиугольниками, противоположные стороны которых равны и параллельны. Боковые грани ABB 1 A 1 и DEE 1 D 1 изображаются прямоугольниками.

27 Упражнение 1 Являются ли треугольными призмами многогранники, изображенные на рисунках? а) б) в) Ответ: Да.

28 Упражнение 2 Являются ли призмами многогранники, изображенные на рисунках? а) б) в) Ответ: Да.

29 Упражнение 3 Являются ли призмами многогранники, изображенные на рисунках? а) б) в) Ответ: Да.

30 Упражнение 4 Являются ли призмами многогранники, изображенные на рисунках? а) б) в) г) Ответ: а), б) Нет; в), г) да.

31 Упражнение 5 Изобразите треугольную призму на клетчатой бумаге, аналогично данной на рисунке.

32 Упражнение 6 Изобразите правильную шестиугольную призму на клетчатой бумаге, аналогично данной на рисунке.

33 Упражнение 7 На рисунке изображены три ребра треугольной призмы. Изобразите всю призму. Ответ.

34 Упражнение 8 На рисунке изображены три ребра треугольной призмы. Изобразите всю призму. Ответ.

35 Упражнение 9 На рисунке изображены четыре ребра шестиугольной призмы. Изобразите всю призму. Ответ.

36 Упражнение 10 На рисунке изображены четыре ребра шестиугольной призмы. Изобразите всю призму. Ответ.

37 Упражнение 11 Сколько вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) имеет: Ответ: а) В = 6, Р = 9, Г = 5.а) треугольная призма? б) В = 8, Р = 12, Г = 6. в) В = 10, Р = 15, Г = 7. г) В = 12, Р = 18, Г = 8. б) четырехугольная призма? в) пятиугольная призма? г) шестиугольная призма?

38 Упражнение 12 Существует ли призма, которая имеет: Ответ: Нет.а) 4 ребра? Ответ: Нет. Ответ: Да. б) 6 рёбер? в) 12 рёбер? г) 21 ребро?

39 Упражнение 13 Какой многоугольник лежит в основании призмы, которая имеет: Ответ: Шестиугольник.а) 18 рёбер? б) 24 вершины? в) 36 граней? Ответ: Двенадцатиугольник. Ответ: Тридцатичетырёхугольник.

40 Упражнение 14 На рисунке изображена треугольная призма, на ребрах и диагоналях боковых граней которой поставлены стрелки. Сколько имеется путей по этим ребрам и диагоналям из вершины A в вершину C 1, если двигаться разрешается только в направлениях, указанных стрелками? Ответ. 9.

41 ПИРАМИДА Пирамидой называется многогранник, поверхность которого состоит из многоугольника, называемого основанием пирамиды, и треугольников с общей вершиной, называемых боковыми гранями пирамиды. Стороны боковых граней, не лежащие в основании, называются боковыми ребрами пирамиды. Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды Пирамида называется n-угольной, если ее основанием является n- угольник. На рисунке изображенsы треугольная, четырехугольная, пятиугольная и шестиугольная пирамиды.

42 ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА Пирамида называется правильной, если её основание – правильный многоугольник и все боковые ребра равны. На рисунках изображены правильная четырехугольная и правильная шестиугольная пирамиды. Их основания изображаются соответственно параллелограммом и шестиугольником, противоположные стороны которого равны и параллельны.

43 Упражнение 1 Являются ли пирамидами многогранники, изображенные на рисунках? а) б) в) Ответ: а), б) Да; в) нет.

44 Упражнение 2 Являются ли пирамидами многогранники, изображенные на рисунках? а) б) в) Ответ: а), б) Да; в) нет.

45 Упражнение 3 Изобразите правильную четырехугольную пирамиду на клетчатой бумаге, аналогично данной на рисунке.

46 Упражнение 4 Изобразите правильную шестиугольную пирамиду на клетчатой бумаге, аналогично данной на рисунке.

47 Упражнение 5 На рисунке изображены три ребра четырехугольной пирамиды. Изобразите всю пирамиду. Ответ.

48 Упражнение 6 На рисунке изображены три ребра четырехугольной пирамиды. Изобразите всю пирамиду. Ответ.

49 Упражнение 7 На рисунке изображены четыре ребра шестиугольной пирамиды. Изобразите всю пирамиду. Ответ.

50 Упражнение 8 На рисунке изображены четыре ребра шестиугольной пирамиды. Изобразите всю пирамиду. Ответ.

51 Упражнение 9 Сколько вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) имеет: Ответ: а) В = 4, Р = 6, Г = 4.а) треугольная пирамида? б) В = 5, Р = 8, Г = 5. в) В = 6, Р = 10, Г = 6. г) В = 7, Р = 12, Г = 7. б) четырехугольная пирамида? в) пятиугольная пирамида? г) шестиугольная пирамида?

52 Упражнение 10 Существует ли пирамида, которая имеет: а) 10 ребер? б) 6 рёбер? в) 24 ребра? г) 33 ребра? Ответ: Да. Ответ: Нет.

53 Упражнение 11 Какой многоугольник лежит в основании пирамиды, которая имеет: Ответ: 59-угольник. а) 8 рёбер? б) 22 вершины? в) 60 граней? Ответ: 4-угольник. Ответ: 21-угольник.

54 Упражнение 12 Какой выпуклый многогранник имеет своими вершинами следующие вершины треугольной призмы: а) A, B, С, A 1 ; б) A, B, C, C 1, B 1 ; Ответ: треугольная пирамида; Ответ: четырехугольная пирамида.

55 Упражнение 13 Какой выпуклый многогранник имеет своими вершинами следующие вершины куба: Ответ: четырехугольная пирамида; а) A, B, D, A 1, B 1, D 1 ; б) A, D, D 1, B, C, C 1 ; в) A, B, C, D, A 1 ; Ответ: треугольная призма; Ответ: четырехугольная пирамида; г) A, D, D 1, A 1, B; Ответ: треугольная пирамида; д) A, B, C, B 1 ; Ответ: треугольная пирамида; е) A, B, D, C 1 ; Ответ: треугольная пирамида. е) A, C, B 1, D 1 ;

56 Упражнение 14 Какой выпуклый многогранник имеет своими вершинами следующие вершины шестиугольной призмы: Ответ: четырехугольная пирамида; а) A, B, D, E, F, A 1 ; б) A, B, D, E, A 1, B 1, D 1, E 1 ; в) A, B, D 1, E 1, C 1 ; Ответ: шестиугольная пирамида; Ответ: параллелепипед; Ответ: треугольная призма; г) A, B, C, A 1, B 1, C 1 ; Ответ: четырехугольная призма; д) A, B, C, D, A 1, B 1, C 1, D 1 ; Ответ: треугольная пирамида; е) A, С, E, D 1 ; Ответ: четырехугольная пирамида. е) A, B, B 1, A 1, E 1 ;