ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЕВКЛИДА Выполнил ученик 8 информационно-математического класса Скрипнюк Владислав Брянский городской лицей. - презентация

1 ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЕВКЛИДА Выполнил ученик 8 информационно-математического класса Скрипнюк Владислав Брянский городской лицей 1 имени А.С.Пушкина

2 Теорема. Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы Идея доказательства Евклида состоит в следующем: попробуем доказать, что половина площади квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, а тогда и площади большого и двух малых квадратов равны. Εν τοίς όρθογώνοις τριγωνοις τό άπό τής τήν όρθήν γωνίαν ύποτεινούσης πλευρας τετράγωνον ίσον έστι τοίς άπό ιων τήύ όρθήν γωνίαν περιεχουσων πλευρων τετραγώνοις. По Евклиду

3 Рассмотрим чертеж слева. На нём мы построили квадраты на сторонах прямоугольного треугольника и провели из вершины прямого угла С луч s перпендикулярно гипотенузе AB, он рассекает квадрат ABIK, построенный на гипотенузе, на два прямоугольника BHJI и HAKJ соответственно. Оказывается, что площади данных прямоугольников в точности равны площадям квадратов, построенных на соответствующих катетах. С s АВ IК Н J Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы

4 Попытаемся доказать, что площадь квадрата DECA равна площади прямоугольника AHJK Для этого воспользуемся вспомогательным наблюдением: Площадь треугольника с той же высотой и основанием, что и данный прямоугольник, равна половине площади заданного прямоугольника. Это следствие определения площади треугольника как половины произведения основания на высоту. С s АВ IК Н J D E Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы

5 Из этого наблюдения вытекает, что площадь треугольника ACK равна площади треугольника AHK, которая, в свою очередь, равна половине площади прямоугольника AHJK. С s АВ IК Н J E D Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы

6 Докажем теперь, что площадь треугольника ACK также равна половине площади квадрата DECA. Единственное, что необходимо для этого сделать, это доказать равенство треугольников ACK и BDA (так как площадь треугольника BDA равна половине площади квадрата по указанному выше свойству). Равенство это очевидно: треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. С s АВ IК Н J D E Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы

7 AB=AK, AD=AC, равенство углов CAK и BAD легко доказать: САК= САВ+ ВАК BAD= CAB+ CAD (причем CAD= BAK=90). Теперь равенство этих треугольников очевидно. С s АВ IК Н J D E

8 Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы Рассуждение о равенстве площадей квадрата BCFG и прямоугольника BHJI совершенно аналогично. С s АВ IК Н J F G D E

9 Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы Тем самым мы доказали, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, слагается из площадей квадратов, построенных на катетах. С s АВ IК Н J F G D E