Свойства пределов. 1. Ограниченность функции, имеющей предел. –Определение. –Функция называется ограниченной на множестве D, если –Теорема. Пример. Функция. - презентация

1 Свойства пределов. 1. Ограниченность функции, имеющей предел. –Определение. –Функция называется ограниченной на множестве D, если –Теорема. Пример. Функция 1)На множестве (1.2) – ограниченная; 2)На множестве (0.1) - ограниченная снизу; 3)На множестве (-1.1) – неограниченная; 4)На множестве (1. ) – ограниченная; 5)На множестве (0, ) ограниченная снизу. 0 х y

2 Свойства пределов. Теорема (о разности между функцией и ее пределом) 1. Прямая теорема: –(необходимость) 2. Обратная теорема: ( достаточность) где - бесконечно малая при где - бесконечно малая при где - бесконечно малая при

3 Свойства пределов. Доказательство прямой теоремы. Доказательство обратной теоремы. где - бесконечно малая при

4 Свойства пределов. 2.Основные свойства бесконечно малых величин. Пусть и - бесконечно малые при Тогда при –1. - бесконечно малая величина. –2. -бесконечно малая величина. –3. - бесконечно малая величина, если ограниченная величина. Доказательство 1 свойства ( для суммы ). 1.Обозначим 2.Возьмем число,где произвольное положительное число. 3.Из определения бесконечно малых величин следует: Тогда Д.з. Д окажите свойство 3.

5 Свойства пределов. 3. Основные свойства пределов. Пусть существуют Тогда: если,то Доказательство 1 свойства. 1. где и - бесконечно малые при 2. Следовательно число бесконечно малая Д.з. Докажите свойство 2.

6 Свойства пределов. 4. Бесконечно большие величины при. –Определение. –Функция называется –бесконечно большой при –если Связь бесконечно больших и бесконечно малых величин. Теорема 1. Если - бесконечно большая величина при, то - бесконечно малая величина. 0 х y M -M

7 Свойства пределов. Теорема 2. Доказательство. 1. Возьмем произвольное и обозначим 2. Так как,то Следовательно Если - бесконечно малая величина при то - бесконечно большая величина.

8 Свойства пределов. 5. Бесконечно большие при. –Определение. –Геометрическая интерпретация. 0 х y M N-N х

9 Свойства пределов. 6. Два признака существования предела. Теорема 1. Пусть Геометрическая интерпретация. Теорема 2 (теорема Вейерштрасса). Пусть х y

10 Свойства пределов. 7. Первый замечательный предел. Доказательство OBA OBA OCA 0A B C D

11 Свойства пределов По первому признаку существования предела:

12 Свойства пределов. 8. Второй замечательный предел. –1. –2. Утверждения: –3. По второму признаку существования предела:

13 Свойства пределов. –4. Пусть. Тогда –Если, то