Теорема Менелая Пусть на сторонах AB, BC и продолжении стороны AC треугольника ABC взяты соответственно точки C 1, A 1 и B 1. Точки A 1, B 1, C 1 лежат. - презентация

1 Теорема Менелая Пусть на сторонах AB, BC и продолжении стороны AC треугольника ABC взяты соответственно точки C 1, A 1 и B 1. Точки A 1, B 1, C 1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство (*) Доказательство: Пусть точки A 1, B 1, C 1 принадлежат одной прямой a. Опустим из вершин треугольника ABC перпендикуляры AA, BB, CC на эту прямую. Треугольники AC 1 A и BC 1 B подобны и, следовательно, Аналогичным образом показывается, что и Перемножая эти три равенства, будем иметь требуемое равенство.

2 Продолжение Докажем обратное. Пусть на сторонах AB, BC и продолжении стороны AC треугольника ABC взяты соответственно точки C 1, A 1 и B 1, для которых выполняется равенство (*). Предположим, что прямая A 1 B 1 пересекает прямую AB в некоторой точке C'. По доказанному, выполняется равенство Учитывая равенство (*), получаем равенство Прибавим к его обеим частям единицу и приведем к общему знаменателю. Получим равенство из которого следует, что C и C 1 совпадают. Следовательно, точки A 1, B 1, C 1 принадлежат одной прямой.

3 Упражнение 1 Точка C 1 – середина стороны AB треугольника ABC. Точка O – середина отрезка CC 1. В каком отношении делит прямая AO сторону BC? Ответ: 2:1.

4 Упражнение 2 Точка A 1 делит сторону BC треугольника ABC в отношении 1:2. Точка B 1 делит сторону AC в отношении 2:1. Прямая A 1 B 1 пересекает продолжение стороны AB в точке C 1. Найдите отношение AB:BC 1. Ответ: 3:1.

5 Упражнение 3 На продолжениях сторон AB, BC и CA треугольника ABC взяты соответственно точки C 1, A 1 и B 1 так, что AB = BC 1, BC = CA 1, CA = AB 1. Найдите отношение, в котором прямая AB 1 делит сторону A 1 C 1 треугольника A 1 B 1 C 1. Ответ: 1:2.

6 Упражнение 4 Точка C 1 делит сторону AB треугольника ABC в отношении 1:2. Точка B 1 лежит на продолжении стороны AC и AC = 2CB 1. В каком отношении делит прямая B 1 C 1 сторону BC? Решение: По условию, используя теорему Менелая, находим

7 Теорема Чевы Пусть на сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты соответственно точки C 1, A 1 и B 1. Прямые AA 1, BB 1, CC 1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда Доказательство. Пусть прямые AA 1, BB 1, CC 1 пересекаются в одной точке. Применим теорему Менелая к треугольнику BCC 1 и прямой AA 1. Получим Перемножая эти два равенства, получим искомое равенство (*). Аналогично, применяя теорему Менелая к треугольнику AC 1 C и прямой BB 1, получим

8 Продолжение Докажем обратное. Пусть на сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты соответственно точки C 1, A 1 и B 1, для которых выполняется равенство (*). Предположим, что прямые AA 1 и BB 1 пересекаются в точке O. Проведем прямую CO и обозначим С ее точку пересечения со стороной AB. Докажем, что C совпадает с C 1. Для точек A 1, B 1, C выполняется равенство Учитывая равенство (*), получаем равенство из которого следует, что точки C и C 1 совпадают, значит, прямые AA 1, BB 1, CC 1 пересекаются в одной точке.

9 Упражнение 6 Точки C 1 и A 1 делят стороны AB и BC треугольника ABC в отношении 1:2. Прямые CC 1 и AA 1 пересекаются в точке O. Найдите отношение, в котором прямая BO делит сторону CA. Решение: По условию Используя теорему Чевы, находим

10 Упражнение 7 Точки C 1, B 1, A 1 делят стороны AB, AC, BC, соответственно, в отношениях 4:1, 2:1, 1:2. Выясните, пересекаются ли прямые AA 1, BB 1, CC 1 в одной точке. Ответ: Да.

11 Упражнение 8 Точка A 1 делит сторону BC треугольника ABC в отношении 1:3. В каком отношении должна делить точка B 1 сторону AC, чтобы точка пересечения прямых AA 1 и BB 1 принадлежала медиане CC 1 треугольника ABC? Ответ: 1:3.

12 Упражнение 9 Докажите, что прямые, проходящие через вершины треугольника и точки касания вписанной окружности пересекаются в одной точке, называемой точкой Жергона. Решение: Пусть окружность касается сторон треугольника ABC соответственно в точках A 1, B 1, C 1. Тогда AB 1 = AC 1, BC 1 = BA 1, CA 1 = CB 1. Следовательно, По теореме Чевы, прямые AA 1, BB 1, CC 1 пересекаются в одной точке.

13 Упражнение 10 Докажите, что прямые, проходящие через вершины треугольника и точки касания вневписанных окружностей пересекаются в одной точке, называемой точкой Нагеля.

14 Решение Пусть окружность касается стороны BC и продолжения сторон AC и AB треугольника ABC соответственно в точках A 1, B, C. Тогда CA 1 = CB, BA 1 = BA, AB = AC. Обозначим AB = с, AC = b, BC = a, p – полупериметр треугольника ABC. Имеем AB = AC = p и, следовательно, BA 1 = BC = p – c, A 1 C = CB = p – b. Аналогично, для точек касания B 1 и C 1 имеем: AC 1 = p – b, C 1 B = p – a; CB 1 = p – a, C 1 A = p – b. Следовательно, выполняется равенство По теореме Чевы, прямые AA 1, BB 1, CC 1 пересекаются в одной точке.