Площадь треугольника Теорема 1. Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Следствие. Площадь. - презентация

1 Площадь треугольника Теорема 1. Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Следствие. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Теорема 2. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

2 Упражнение 1 Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге, клетками которой являются единичные квадраты. Ответ: 6.

3 Упражнение 2 Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге, клетками которой являются единичные квадраты. Ответ: 3.

4 Упражнение 3 Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге, клетками которой являются единичные квадраты. Ответ: 2.

5 Упражнение 4 Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге, клетками которой являются единичные квадраты. Ответ: 2,5.

6 Упражнение 5 Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге, клетками которой являются единичные квадраты. Ответ: 5.

7 Упражнение 6 На рисунке укажите равновеликие треугольники. Ответ: а), г), е), ж), з); б), д).

8 Упражнение 7 Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны: а) 4 см и 7 см; б) 1,2 м и 35 дм. Ответ: а) 14 см 2 ; б) 2,1 м 2.

9 Упражнение 8 Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза соответственно равны: а) 4 и 5; б) 12 и 13. Ответ: а) 6; б) 30.

10 Упражнение 9 Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его основание и боковые стороны соответственно равны: а) 6 и 5; б) 16 и 17. Ответ: а) 12; б) 120.

11 Упражнение 10 Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной a. Ответ:

12 Упражнение 11 Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 6 и 8, а угол между ними равен: а) 30°; б) 45 о ; в) 60 о ; г) 120 о ; д) 135 о ; е) 150 о. Ответ: а) 12. б)в)г) д) е) 12.

13 Упражнение 12 Площадь треугольника равна 48 см 2. Найдите высоту треугольника, проведенную к стороне, равной 32 см. Ответ: 3 см.

14 Упражнение 13 Докажите, что медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника. Доказательство: Пусть CM – медиана треугольника ABC. Треугольники AMC и BMC имеют равные стороны AM = BM и общую высоту CH. Следовательно, их площади равны и треугольники равновелики.

15 Упражнение 14 Две стороны треугольника равны 6 см и 5 см. Может ли его площадь быть равна: а) 10 см 2 ; б) 15 см 2 ; в) 20 см 2 ? Ответ: а) Да; б) да; в) нет.

16 Упражнение 15 В треугольнике АВС две стороны равны a и b. При каком угле между ними площадь треугольника будет наибольшей? Ответ: 90 о.

17 Упражнение 16 Как изменится площадь треугольника, если: а) не изменяя его сторону, увеличить, опущенную на нее, высоту в два раза; б) не изменяя его высоты, уменьшить сторону, на которую она опущена, в три раза; в) одну сторону увеличить в четыре раза, а высоту, опущенную на нее, уменьшить в семь раз? Ответ: а) Увеличится в 2 раза; б) уменьшится в 3 раза; в) уменьшится в 1,75 раза.

18 Упражнение 17 Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30°. Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 200 см 2. Ответ: см.

19 Упражнение 18 Какую часть площади данного треугольника составляет площадь треугольника, отсекаемого его средней линией? Ответ: Одну четвертую.

20 Упражнение 19 В треугольнике проведены все средние линии. Какую часть площади данного треугольника составляет площадь треугольника, образованного этими линиями? Ответ: Одну четвертую.

21 Упражнение 20 Точка D делит сторону AB треугольника ABC в отношении 2:3. Найдите площадь треугольника ACD, если площадь треугольника ABC равна 10. Ответ: 4.

22 Упражнение 21 Медианы треугольника ABC пересекаются в точке M. Какую часть площади данного треугольника составляет площадь треугольника ABM? Ответ: 1/3.

23 Упражнение 22 Точки A 1 и B 1 делят стороны BC и AC треугольника ABC в отношениях соответственно 3:2 и 2:1. Найдите площадь треугольника A 1 B 1 C, если площадь треугольника ABC равна 15. Ответ: 2.

24 Упражнение 23* Точки A 1 и B 1 делят стороны BC и AC треугольника ABC в отношениях соответственно 1:2 и 2:3. Отрезки AA 1 и BB 1 пересекаются в точке M. Найдите площадь треугольника ABM, если площадь треугольника ABC равна 15. Решение. Через точку A 1 проведем отрезок A 1 D, параллельный прямой BB 1. Тогда B 1 D:DC = 1:2, следовательно, AM:MA 1 = 2:1. Площадь треугольника ABA 1 равна 6. Искомая площадь треугольника ABM равна 4.

25 Упражнение 24* Точки A 1, B 1 и C 1 делят стороны BC, CA и AB в отношении 1:2. Найдите площадь треугольника ABC, ограниченного отрезками AA 1, BB 1, CC 1, если площадь треугольника ABC равна 1. Решение. Площадь треугольника ABC равна площади треугольника ABC минус площади треугольников ABB, BCC, CAA. Для нахождения площади треугольника СAA проведем отрезок C 1 D параллельный прямой AA 1. Тогда A 1 D:DB = 1:2, AC 1 :CA = A 1 D :CA 1 = 1:6. Значит, площадь треугольника CAA равна 6/7 площади треугольника ACC 1 и равна 2/7. Треугольники ABB и BCC имеют такую же площадь. Следовательно, площадь треугольника ABC равна 1/7.

26 Упражнение 25* В прямоугольном треугольнике ABC катеты AC и BC равны соответственно 4 и 3, CD – биссектриса. Найдите площадь треугольника AСD. Решение. Воспользуемся тем, что биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные прилежащим к ней сторонам. Отрезок AD составляет четыре седьмых отрезка AB, следовательно, площадь треугольника ACD равна четыре седьмых площади треугольника ABC, т.е. равна

27 Упражнение 26* В треугольнике ABC AC=6, BC=4, угол ACB равен 30 о, CD – биссектриса. Найдите площадь треугольника AСD. Решение. Воспользуемся тем, что биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные прилежащим к ней сторонам. Площадь треугольника ABC равна 6. Отрезок AD составляет шесть десятых отрезка AB, следовательно, площадь треугольника ACD равна 3,6.

28 Упражнение 27* В треугольнике ABC AC=BC=5, AB=6, биссектрисы AA 1 и BB 1 пересекаются в точке D. Найдите площадь треугольника ABD. Решение. Воспользуемся тем, что биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные прилежащим к ней сторонам. Площадь треугольника ABC равна 12. Отрезок AB 1 составляет 6/11 отрезка AC, следовательно, площадь треугольника ABB 1 равна 72/11. Проведем отрезок B 1 E, параллельный прямой AA 1. Тогда CE:EA 1 = 5:6, EA 1 :A 1 B = 5:11. Площадь треугольника ABD равна 4,5.

29 Упражнение 28* В прямоугольнике ABCD AB=4, BC=6, E – середина стороны BC. Отрезки AE и BD пересекаются в точке F. Найдите площадь треугольника ABF. Отрезки BF, FH и HD равны. Следовательно, площадь треугольника ABF равна одной третьей площади треугольника ABD и равна 4. Решение. Соединим точку C с серединой G отрезка AD. Обозначим H точку пересечения отрезков CG и BD.

30 Упражнение 29* Найдите геометрическое место вершин треугольников, равновеликих данному треугольнику и имеющих с ним одну общую сторону. Ответ: Две параллельные прямые.

31 Упражнение 30* Существует ли треугольник, у которого все высоты меньше 1 см, а площадь больше 1 м 2 ? Ответ: Да.