Презентация по математике На тему: Правила Крамера. - презентация

1 Презентация по математике На тему: Правила Крамера

2 В литературе известны разные способы решения Крамеровой системы линейных алгебраических уравнений. Один из них – матричный способ – состоит в следующем. Пусть дана Крамерова система, т.е. квадратная система линейных уравнений с неизвестными Определитель которой отличен от нуля: (1) (2)

3 Систему (1) можно представить в виде одного матричного уравнения (3) где A - матрица коэффициентов при неизвестных системы (1), - столбец (Матрица-столбец) неизвестных - столбец свободных членов системы (1)

4 Так как, то матрица A невырожденная и для нее существует обратная матрица. Умножив равенство (3) на (слева), получим (единственное) решение системы в следующей матричной форме (в предположении, что она совместима и - ее решение) Где обратная матрица имеет вид :

5 Другой известный способ можно назвать методом алгебраических дополнений. Его использование предполагает владение понятием алгебраического дополнения как и в матричном способе, теоремой о разложении определителя по столбцу (строке), теоремами о замещении и об аннулировании. Предлагаемый нами новый метод опирается на теорему Коши-Бине об определителе произведения матриц. Суть этого метода можно понять легко, если сначала рассмотрим случай. Очевидно, что при выполняются следующие матричные равенства (если задана система (1)):

6 Переходя к определителям в этих равенствах и обозначив определители правых частей соответственно через получим формулы Крамера: () (Правило Крамера) Переход к общему случаю Крамеровых систем (1) порядка ничего по существу не меняет. Просто следует заметить, что матрица с определителем получается из единичной матрицы заменой -го столбца столбцом неизвестных:

7 Теперь из равенств Где - матрица, получающаяся заменой - го столбца матрицы столбцом свободных членов системы (1), причем к формулам Крамера, взяв определители от обеих частей в каждом равенстве: откуда ввиду имеем

8 Другой, еще более короткий способ отыскания решения системы (1) состоит в следующем (по-прежнему ): пусть система (1) совместна и числа (после переобозначений) образуют ее решение. Тогда при имеем, используя два линейных свойства определителя: Можно начать и с определителя, в котором вместо свободных членов в -м столбце подставлены их выражения согласно (1); используя соответствующие свойства определителя, получим: откуда и получаются формулы Крамера.