Дифференциальные уравнения Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. - презентация

1 Дифференциальные уравнения Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

2 Однородные Д.У. с постоянными коэффициентами. Рассмотрим уравнение где - постоянные действительные числа Пусть функция - решение Д.У. - корень алгебраического уравнения

3 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Определение. Алгебраическое уравнение соответствующее данному ЛОДУ, называется характеристическим уравнением. Обратное утверждение: Пусть - корень характеристического уравнения. Тогда функция -частное решение ЛОДУ. Замечание. Алгебраическое уравнение степени n с действительными коэффициентами имеет n решений.

4 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Примеры. 1. Замена: Характеристическое уравнение: - частные решения ЛОДУ.

5 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Примеры. 2. Замена: Характеристическое уравнение: - частные решения ЛОДУ.

6 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Свойства решений ЛОДУ. 1. Линейность. - решения ЛОДУ - решение ЛОДУ. Доказать самостоятельно.

7 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Свойства решений ЛОДУ. 1. Линейность. - решения ЛОДУ - решение ЛОДУ. Доказать самостоятельно. Примеры решение ЛОДУ при любых постоянных С 1 и С решение ЛОДУ при любых постоянных С 1 и С 2.

8 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 2. Критерий линейной независимости системы решений ЛОДУ. Пусть - частные решения ЛОДУ порядка n в. Теорема. Система функций линейно независимая в

9 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Определение ФСР. Фундаментальной системой решений (ФСР) ЛОДУ - порядка n называется система n линейно независимых решений ЛОДУ.

10 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Определение ФСР. Фундаментальной системой решений (ФСР) ЛОДУ - порядка n называется система n линейно независимых решений ЛОДУ. Примеры ФСР ЛОДУ 2. - ФСР ЛОДУ

11 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Теорема о структуре общего решения ЛОДУ. Пусть при система образует ФСР ЛОДУ порядка n. Тогда общее решение ЛОДУ порядка n имеет вид с произвольными постоянными Примеры. 1., - общее решение ЛОДУ 2., - общее решение ЛОДУ

12 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами ФСР в случае различных действительных корней. Доказательство (при n=2) образуют ФСР

13 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Случай кратных действительных корней. Пусть действительное число - корень уравнения кратности В ФСР ЛОДУ ему соответствуют решений вида

14 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Случай кратных действительных корней. Пусть действительное число - корень уравнения кратности В ФСР ЛОДУ ему соответствуют решений вида Пример Замена: 3. Характеристическое уравнение: 4. ФСР: (кратность 2)

15 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами ФСР в случае, когда некоторые корни комплексные. 1. Случай простого комплексного корня. Пусть - комплексный корень характеристического уравнения тогда - также корень этого уравнения. Функции - решения ЛОДУ. Функции линейно независимые, так как Функции вместе с другими (n-2) - линейно независимыми решениями ЛОДУ образуют ФСР.

16 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Преобразуем функции с помощью формулы Эйлера: Функции являются действительными функциями переменной х; являются решениями ЛОДУ; являются линейно независимыми Образуют (вместе с другими) ФСР

17 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Примеры. 1. Найти ФСР уравнения Шаг 1. Запишем характеристическое уравнение и решим его: Шаг 2. Запишем ФСР ЛОДУ:

18 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Примеры. 2. Найти ФСР уравнения Шаг 1. Запишем характеристическое уравнение и решим его: Шаг 2. Запишем ФСР ЛОДУ:

19 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 2. Случай кратных комплексных корней. Пусть комплексное число корень кратности число - тоже корень кратности В ФСР ЛОДУ им соответствуют решений вида

20 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Свойства решений ЛНДУ частные решения ЛНДУ - решение ЛОДУ, соответствующего данному ЛНДУ.

21 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Свойства решений ЛНДУ частные решения ЛНДУ - решение ЛОДУ, соответствующего данному ЛНДУ. Доказательство.

22 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 2. Принцип суперпозиции.

23 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 2. Принцип суперпозиции. Доказательство.

24 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Теорема о структуре общего решения ЛНДУ частное решение ЛНДУ порядка n ФСР ЛОДУ, соответствующего данному ЛНДУ. Общее решение ЛНДУ имеет вид - произвольные постоянные

25 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов. Рассмотрим уравнение где - постоянные коэффициенты и имеет специальный вид. Правило.

26 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Примеры. 1. Найти общее решение уравнения Шаг 1. Решим ЛОДУ, соответствующее данному ЛНДУ: Шаг 2. Найдем частное решение ЛНДУ: Шаг 3. Запишем общее решение ЛНДУ:

27 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 2. Найти общее решение ЛНДУ Шаг 1. Решим ЛОДУ, соответствующее данному ЛНДУ: Шаг 2. Найдем частное решение ЛНДУ: Шаг 3. Запишем общее решение ЛНДУ:

28 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Пример 3. Найти общее решение ЛНДУ Шаг 1. Решим ЛОДУ, соответствующее данному ЛНДУ: Шаг 2. Найдем частное решение ЛНДУ: Шаг 3. Запишем общее решение ЛНДУ:

29 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Пример 4. Найти общее решение ЛНДУ Шаг 1. Решим ЛОДУ, соответствующее данному ЛНДУ: Шаг 2. Найдем частное решение ЛНДУ: Шаг 3. Запишем общее решение:: резонанс

30 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Линейные неоднородные Д.У. Метод вариации произвольных постоянных ( метод Лагранжа ). Теорема. - ЛНДУ порядка n с непрерывными коэффициентами. - ФСР ЛОДУ, соответствующего данному ЛНДУ

31 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Частный случай. Рассмотрим ЛНДУ второго порядка Пусть - ФСР соответствующего ЛОДУ. Тогда

32 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Пример. Решение. 1. ЛОДУ ФСР 2. Общее решение ЛОДУ 3. Частное решение ЛНДУ 4. Найдем 5. Общее решение ЛНДУ

33 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Уравнение колебаний. Задача. Материальная точка массы m движется под действием упругой силы пружины. Найти закон движения. Закон Гука: Второй закон Ньютона: Уравнение движения: y F m o A Уравнение свободных колебаний.

34 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение: ФСР: Общее решение: Задача Коши. Свободные колебания с амплитудой и начальной фазой - частота собственных колебаний

35 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Вынужденные колебания. Резонанс. - внешняя сила - амплитуда, - частота внешней силы. Уравнение вынужденных колебаний. - отсутствие резонанса - резонанс