Первый признак равенства треугольников Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого. - презентация

1 Первый признак равенства треугольников Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2 Упражнение 1 Равны ли треугольники, изображенные на рисунке, если AB = DE, AC = EF и угол A равен углу E? Ответ: Да.

3 Упражнение 2 Ответ: KN = 2 дм. Точка O – середина отрезков KL и MN, ML=2 дм. Найдите KN.

4 Упражнение 3 Ответ: HE = 50 см, HF = 35 см. Два отрезка EF и GH пересекаются в точке P и делятся в ней пополам, GE=35 см, GF=50 см. Найдите отрезки HE и HF.

5 Упражнение 4 Решение. Треугольники ABD и ACE равны по первому признаку равенства треугольников (АВ=АС, АЕ=АD, угол A общий). Следовательно, BD=CE. На рисунке АВ=АС, АЕ=АD. Докажите, что BD=CE.

6 Упражнение 5 Решение. Треугольники ABD и ACE равны по первому признаку равенства треугольников. Следовательно, CE = BD = 4 см. На рисунке АЕ = АD = 2 см, BE = CD = 3 см, BD = 4 см. Найдите CE.

7 Упражнение 6 Ответ: Да, треугольники KMN и NLK равны по первому признаку равенства треугольников (MN = LK, KN - общая, угол 1 равен углу 2). На рисунке KL = NM, угол 1 равен углу 2. Есть ли на нем равные треугольники?

8 Упражнение 7 Решение. Треугольники KMN и NLK равны по первому признаку равенства треугольников. Следовательно, LN = KM = 3 см. На рисунке KL = NM = 4 см, угол 1 равен углу 2, KM = 3 см. Найдите LN.

9 Упражнение 8 На рисунке BH перпендикулярна AC и AH = CH. Есть ли на этом рисунке равные треугольники? Ответ: Да, треугольники AHB и CHB равны по первому признаку равенства треугольников (AH=CH, BH – общая, угол AHB равен углу CHB).

10 Упражнение 9 Решение. Треугольники AHB и CHB равны по первому признаку равенства треугольников. Следовательно, BC = AB = 5 см. На рисунке BH перпендикулярна AC и AH = CH = 2 см, AB = 5 см. Найдите BC.

11 Упражнение 10 Решение. Треугольники OCE и ODE равны по первому признаку равенства треугольников (OC = CE, OE - общая, угол COE равен углу DOE). Следовательно, EC = ED. На сторонах угла АОВ отложены равные отрезки ОС и ОD. Произвольная точка E биссектрисы этого угла соединена с точками С и D. Докажите, что ЕС = ЕD.

12 Упражнение 11 Решение. Треугольники OCE и ODE равны по первому признаку равенства треугольников. Следовательно, CE = DE = 2 см. На сторонах угла АОВ отложены равные отрезки ОС = ОD = 3 см. Точка E биссектрисы этого угла соединена с точками С и D, CE = 2 см. Найдите DE.

13 На сторонах угла CAD отмечены точки B и E так, что точка B лежит на стороне AC, а точка E – на стороне AD, причем AC = AD и AB = AE. Докажите, что угол CBD равен углу DEC. Решение. Треугольники ABD и ACE равны по первому признаку равенства треугольников (AC = AD, АВ=АС, угол A общий). Следовательно, равны соответствующие углы ABD и AEC. Из равенства этих углов следует равенство смежных углов CBD и DEC. Упражнение 12

14 В четырехугольнике ABCD AB = DC и угол BAC равен углу ACD. Докажите, что угол B равен углу D. Решение. Треугольники ABC и CDA равны по первому признаку равенства треугольников (AB = CD, AC – общая сторона, угол BAC равен углу ACD). Следовательно, равны соответствующие углы B и D этих треугольников. Упражнение 13

15 В четырехугольнике ABCD AB = DC и угол BAC равен углу ACD. Докажите, что AD = BC. Решение. Треугольники ABC и CDA равны по первому признаку равенства треугольников (AB = CD, AC – общая сторона, угол BAC равен углу ACD). Следовательно, равны соответствующие стороны AD и BC этих треугольников. Упражнение 14

16 На рисунке АВ = AD и угол BAC равен углу DAC. Докажите, что BC = CD. Решение. Треугольники ABC и ADC равны по первому признаку равенства треугольников (AB = AD, AC – общая сторона, угол BAC равен углу DAC). Следовательно, равны соответствующие стороны BC и CD этих треугольников. Упражнение 15

17 На рисунке АВ = AD и BAC = DAC. Докажите, что угол B равен углу D. Решение. Треугольники ABC и ADC равны по первому признаку равенства треугольников (AB = AD, AC – общая сторона, угол BAC равен углу DAC). Следовательно, равны соответствующие углы B и D этих треугольников. Упражнение 16

18 Упражнение 17 Решение. Треугольники AOD и BOC равны по первому признаку равенства треугольников (AO = BO, DO = CO, угол AOD равен углу BOC). Следовательно, AD = BC. На рисунке АО = ОВ и DO = OC. Докажите равенство отрезков AD и ВС.

19 Упражнение 18 Решение. Треугольники AOD и BOC равны по первому признаку равенства треугольников. Следовательно, BC = AD = 6 см. На рисунке АО = ОВ = 5 см, DO = OC = 3 см, AD = 6 см. Найдите BC.

20 На рисунке угол A равен углу B, AD = BC. Докажите, что AC = BD. Решение. Треугольники ABC и BAD равны по первому признаку равенства треугольников (AB – общая сторона, BC = AD, угол ABC равен углу BAD). Следовательно, равны соответствующие стороны AC и BD этих треугольников. Упражнение 19

21 Точки A, B, C принадлежат одной прямой. Точки D 1 и D 2 лежат по разные стороны от этой прямой. Докажите, что если треугольники ABD 1 и ABD 2 равны, то треугольники BCD 1 и BCD 2 тоже равны. Решение. Из равенства треугольников ABD 1 и ABD 2 следует равенство соответствующих сторон BD 1 и BD 2, а также равенство соответствующих углов ABD 1 и ABD 2. Из равенства указанных углов следует равенство смежных с ними углов CBD 1 и CBD 2. Треугольники BCD 1 и BCD 2 равны по первому признаку равенства треугольников (BD 1 = BD 2, BC – общая сторона, угол CBD 1 равен углу CBD 2. Упражнение 20

22 Точки A, B, C, D принадлежат одной прямой. Точки E 1 и E 2 лежат по разные стороны от этой прямой. Докажите, что если треугольники ABE 1 и ABE 2 равны, то треугольники CDE 1 и CDE 2 тоже равны. Решение. Из предыдущей задачи следует, что из равенства треугольников ABE 1 и ABE 2 вытекает равенство треугольников BCE 1 и BCE 2, которое, в свою очередь, влечет равенство треугольников CDE 1 и CDE 2. Упражнение 21

23 Упражнение 22 Ответ: 96 о. Медиана АD треугольника АВС продолжена за сторону ВС на отрезок DE, равный отрезку AD, и точка Е соединена с точкой С. Найдите величину угла АСЕ, если угол ABD равен 56 о, угол ACD равен 40 о.

24 Упражнение 23 Ответ: Треугольники ABD и CBE равны по первому признаку. На рисунке отмечены равные отрезки и равные углы. Найдите равные треугольники.

25 Упражнение 24 Решение. Треугольники ABD и CBE равны по первому признаку. Следовательно, CE = AD = 4 см. На рисунке отмечены равные отрезки и равные углы, AE = 9 см, DE = 5 см. Найдите CE.

26 Упражнение 25 Решение. Треугольники ABC и DCE равны по первому признаку равенства треугольников (AC = DC, BC = EC, угол ACB равен углу DCE). Следовательно, AB = DE. Чтобы измерить на местности расстояние между двумя точками А и В, между которыми нельзя пройти по прямой, выбирают какую-нибудь точку С, для которой можно измерить расстояния АС и ВС, и откладывают отрезки CD = AC и СЕ = ВС. Тогда расстояние между точками D и E будет равно искомому расстоянию. Объясните почему.