Третий признак равенства треугольников Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники. - презентация

1 Третий признак равенства треугольников Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

2 Упражнение 1 В треугольниках АВС и MNK справедливы неравенства AB MN, BC NK, CA KM, а треугольники все же равны. Возможно ли это? Ответ: Да.

3 Упражнение 2 Ответ: а) ADC и BDC; б) EFH и GFH; в) KLN и MNL; г) POR и QOR, POS и QOS, PRS и QRS; д) AOD и BOC, ABD и BAC, ACD и BDC; е) KLS и NMS, KMS и NLS; ж) AOB и BOC и COD и AOD, ABD и BCD и ADC и DAB. На рисунках отмечены равные отрезки и равные углы. Укажите на них равные треугольники.

4 Упражнение 3 На рисунке AB=DC и BC=AD. Докажите, что угол B равен углу D. Решение. Проведем отрезок AC. Треугольники ABC и CAD равны по третьему признаку. Следовательно, угол B равен углу D.

5 Упражнение 4 Решение: Треугольники ABC и CAD равны по третьему признаку. Следовательно, угол ACD равен углу BAC и равен 31 o. На рисунке AB=DC и BC=AD, угол BAC равен 31 o, угол BCA равен 29 o. Найдите угол ACD.

6 Упражнение 5 На рисунке AB=BD и AC=CD, угол ABC равен 61 o, угол ACB равен 59 o. Найдите угол BCD. Решение: Треугольники ABC и DBC равны по третьему признаку. Следовательно, угол BCD равен углу ACB и равен 59 o.

7 Упражнение 6 На рисунке АВ = AD и DC = BC. Докажите, что отрезок АС является биссектрисой угла BAD. Доказательство: Треугольники ABC и ADC равны по третьему признаку. Следовательно, угол BAC равен углу DAC, т.е. AC – биссектриса угла BAD.

8 В четырехугольнике ABCD AD = BC и AC = BD. Докажите, что угол BAD равен углу ABC. Решение. Треугольники ABC и BAD равны по третьему признаку равенства треугольников (AD = BC, AC = BD, AB – общая сторона). Следовательно, равны соответствующие углы BAD и ABC. Упражнение 7

9 На рисунке AB = BC, AD = CD. Докажите, что угол 1 равен углу 2. Решение. Проведем отрезок BD. Треугольники ABD и CBD равны по третьему признаку равенства треугольников (AB = CB, AD = CD, BD – общая сторона). Следовательно, равны соответствующие углы 1 и 2 этих треугольников. Упражнение 8

10 На рисунке AD = CD, AO = OC. Докажите, что AB = BC. Решение. Треугольники AOD и COD равны по третьему признаку равенства треугольников (AO = CO, AD = CD, OD – общая сторона). Следовательно, равны соответствующие углы ADO и CDO. Треугольники ABD и CBD равны по первому признаку равенства треугольников (AD = CD, BD – общая сторона, угол ADB равен углу CDB). Следовательно, равны соответствующие стороны AB и BC этих треугольников. Упражнение 9

11 На рисунке AB = BC, AD = CD. Докажите, что AO = OC. Решение. Треугольники ABD и CBD равны по третьему признаку равенства треугольников (AB = CB, AD = CD, BD – общая сторона). Следовательно, равны соответствующие углы ABO и CBO. Треугольники ABO и CBO равны по первому признаку равенства треугольников (AB = CB, BO – общая сторона, угол ABO равен углу CBO). Следовательно, равны соответствующие стороны AO и CO этих треугольников. Упражнение 10

12 Треугольники АВС и BAD равны, причем точки С и D лежат по разные стороны от прямой АВ. Докажите, что треугольники CBD и DAC равны. Решение. Из равенства треугольников АВС и BAD следует равенство соответствующих сторон AC и BD, BC и AD. Треугольники CBD и DAC равны по третьему признаку равенства треугольников (CB = DA, BD = AC, CD – общая сторона. Упражнение 11

13 Упражнение 12 На рисунке AD = CF, AB = FE, BC = ED. Докажите, что угол 1 равен углу 2. Доказательство: Треугольники ABC и FED равны по третьему признаку. Следовательно, угол ACB равен углу FDE и, значит, угол 1 равен углу 2.

14 Упражнение 13 На рисунке AD = CF, AB = FE, BC = ED, угол 1 равен 140 o. Найдите угол 2. Решение: Треугольники ABC и FED равны по третьему признаку. Следовательно, угол 2 равен углу 1 и равен 140 о.

15 Упражнение 14 Точки A, B, C, D принадлежат одной прямой. Докажите, что если треугольники ABE 1 и ABE 2 равны, то треугольники CDE 1 и CDE 2 тоже равны. Доказательство: Из равенства треугольников ABE 1 и ABE 2 следует равенство сторон BE 1, BE 2 и углов CBE 1, CBE 2. Отсюда (по первому признаку) вытекает равенство треугольников BCE 1 и BCE 2. Аналогичным образом, из равенства треугольников BCE 1 и BCE 2 вытекает равенство треугольников CDE 1 и CDE 2.

16 Упражнение 15 На рисунке АВ = CD, AD = BC, ВЕ - биссектриса угла АВС, а DF - биссектриса угла ADC. Докажите, чтоABE = CDF. Доказательство: Треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку равенства треугольников (AB = CD, BC = DA, AC – общая. Следовательно, равны углы BAC и ACD, ABC и CDA. Из равенства последних углов следует равенство углов ABE и CDF. Треугольники ABE и CDF будут равны по второму признаку равенства треугольников (AB = CD, угол BAE равен углу DCF, угол ABE равен углу CDF).

17 Упражнение 16 Докажите, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны, если у них равны медианы BM и B 1 M 1, стороны AB и A 1 B 1, AC и A 1 C 1. Доказательство: Треугольники ABM и A 1 B 1 M 1 равны по третьему признаку равенства треугольников. Следовательно, равны углы BAC и B 1 A 1 C 1. Треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 будут равны по первому признаку равенства треугольников.

18 Упражнение 17 Доказательство: Треугольник OCE равнобедренный (OC = OE). Треугольники OCD и OED равны по третьему признаку равенства треугольников. Следовательно, равны углы 3 и 4. На рисунке CD = ED, угол 1 равен углу 2. Докажите, что угол 3 равен углу 4.