Упражнение 1 На клетчатой бумаге постройте несколько точек, расположенных в узлах сетки, сумма расстояний от которых до точек F 1 и F 2 равна 6 (стороны. - презентация

1 Упражнение 1 На клетчатой бумаге постройте несколько точек, расположенных в узлах сетки, сумма расстояний от которых до точек F 1 и F 2 равна 6 (стороны клеток равны 1). Соедините их плавной кривой.

2 Упражнение 2 На клетчатой бумаге постройте несколько точек, расположенных в узлах сетки, сумма расстояний от которых до точек F 1 и F 2 равна 8 (стороны клеток равны 1). Соедините их плавной кривой.

3 Упражнение 3 На клетчатой бумаге постройте несколько точек, расположенных в узлах сетки, сумма расстояний от которых до точек F 1 и F 2 равна 10 (стороны клеток равны 1). Соедините их плавной кривой.

4 Определение эллипса Геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух заданных точек F 1, F 2 есть величина постоянная, называется эллипсом. Точки F 1, F 2 называются фокусами эллипса. Таким образом, для точек A эллипса с фокусами F 1 и F 2 сумма AF 1 + AF 2 постоянна и равна некоторому заданному отрезку c, большему F 1 F 2.

5 Упражнение 4 Даны фокусы F 1, F 2 и точка на эллипсе. Постройте ещё несколько точек этого эллипса.

6 Упражнение 5 Для точек F 1, F 2 найдите геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до точек F 1, F 2 а) меньше c; б) больше c. Ответ: а) Точки A, расположенные внутри эллипса; б) точки A, расположенные вне эллипса.

7 Рисуем эллипс По данному рисунку укажите способ построения эллипса с помощью кнопок, нитки и карандаша.

8 Касательная к эллипсу Прямая, имеющая с эллипсом только одну общую точку, называется касательной к эллипсу. Общая точка называется точкой касания. Теорема. Пусть А - произвольная точка эллипса с фокусами F 1, F 2. Тогда касательной к эллипсу, проходящей через точку A является прямая, содержащая биссектрису угла, смежного с углом F 1 AF 2. Проведите доказательство теоремы, используя рисунок.

9 Фокальное свойство эллипса Если источник света поместить в фокус эллипса, то лучи, отразившись от эллипса, соберутся в другом фокусе.

10 Построение касательной По данному рисунку укажите способ построения касательной к эллипсу, заданному фокусами F 1, F 2, проходящей через точку C, с помощью циркуля и линейки.

11 Упражнение 6 Через точку C проведите касательную к эллипсу, с заданными фокусами F 1, F 2 и константой с. Ответ:

12 Упражнение 7 Через точку C проведите касательные к эллипсу, с заданными фокусами F 1, F 2 и константой с. Ответ:

13 Упражнение 8 Сколько касательных можно провести к эллипсу из точки: а) принадлежащей эллипсу; б) лежащей вне эллипса; в) лежащей внутри эллипса? Ответ: а) Одну; б) две; в) ни одной.

14 Упражнение 9 Дан эллипс с фокусами F 1, F 2 и константой c. Найдите наибольшее расстояние между точками эллипса. Ответ: c.

15 Упражнение 10 Расстояние между фокусами эллипса равно 4 см. Константа c равна 6 см. Найдите наименьшее расстояние от точек эллипса до фокуса. Ответ: 1 см.

16 Упражнение 11 Для заданных точек А и В найдите геометрическое место точек С, для которых периметр треугольника АВС равен постоянной величине с. Ответ: Эллипс без двух точек.

17 Упражнение 12 Найдите геометрическое место точек пересечения пар окружностей с заданными центрами O 1, O 2 и суммой радиусов c = R 1 + R 2 (c > O 1 O 2 ). Ответ: Эллипс.

18 Упражнение 13 Что будет происходить с эллипсом, если константа c не изменяется, а фокусы: а) приближаются друг к другу; б) удаляются друг от друга? Ответ: а) Эллипс приближается к окружности радиуса c/2; б) эллипс приближается к отрезку длины c.

19 Упражнение 14 По данному эллипсу укажите способ нахождения его фокусов. Ответ: Проведем отрезки AB и CD, соответственно, наибольшей и наименьшей длины. С центром в точке C и радиусом OA = OB опишем окружность. Ее точки пересечения с AB будут искомыми фокусами.

20 Лабораторная работа Возьмем лист бумаги в форме круга и отметим внутри него точку F, отличную от центра. Сложим лист так, чтобы точка F совместилась с какой-нибудь точкой F на границе круга. Снова согнем и разогнем лист, совместив точку F с другой точкой F 1 границы круга. Разогнем лист. Линия сгиба будет серединным перпендикуляром к отрезку FF и, следовательно, касательной к эллипсу. Сделаем так несколько раз, пока вся бумага не покроется линиями сгибов. Линии сгибов будут касательными к эллипсу. Чем больше будет линий сгибов тем больше граница участка внутри этих сгибов будет приближаться к эллипсу.

21 Упражнение 15 Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки P и данной окружности с центром O. Ответ. Эллипс с фокусами O, P.

22 Упражнение 16 Найдите геометрическое место центров окружностей, касающихся двух данных окружностей с центрами O 1, O 2. Ответ. Эллипс с фокусами O 1, O 2.