© Александрова О.А. Лицей 554 ВЕКТОРЫ. Содержание Историческая справка Что такое вектор? Длина вектора Коллинеарные векторы Направление векторов Равенство. - презентация

1 © Александрова О.А. Лицей 554 ВЕКТОРЫ

2 Содержание Историческая справка Что такое вектор? Длина вектора Коллинеарные векторы Направление векторов Равенство векторов Откладывание вектора от данной точки Сложение векторов Вычитание векторов Умножение вектора на число

3 Историческая справка Термин вектор (от лат. Vector – несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона (1805 – 1865) в работах по построению числовых систем.

4 Что такое вектор? Понятие вектора возникает там, где приходится иметь дело с объектами, которые характеризуются величиной и направлением: например, скорость, сила, давление. Такие величины называются векторными величинами или векторами.

5 Геометрическое понятие вектора Наиболее наглядно величину и направление одновременно можно задать с помощью направленного отрезка – вектора. Направление вектора указывается стрелкой. Точка A называется началом вектора, а точка B – концом. Векторы обозначаются латинскими буквами a, b, c, …, а также AB, CD, … (на первом месте ставится начало вектора). В А Начало вектора Конец вектора C D a b c

6 Нулевой вектор Любую точку плоскости можно считать вектором. Такой вектор называется нулевым. Начало нулевого вектора совпадает с его концом. Нулевой вектор обозначается 0 или СС. М С CC - нулевой вектор MM - нулевой вектор

7 Длина вектора Расстояние между началом и концом вектора называется длиной или модулем вектора. Длина вектора обозначается |а| или |АВ|. Длина нулевого вектора считается равной нулю. AB a C D N |AB| = 6 |CD| = 5 |a| = 5 |NN| = 0 (каждая клетка на рисунке имеет сторону, равную единице измерения отрезков)

8 Коллинеарные векторы Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. a C D b F K O m N P CD, KF, O, a, b – коллинеарные O, a – коллинеарные O, NP – коллинеарные NP, m – не коллинеарные

9 Направление векторов Если два ненулевых вектора коллинеарны и направлены одинаково, то эти векторы называются сонаправленными. Если два ненулевых вектора коллинеарны и направлены противоположно, то эти векторы называются противоположно направленными. Нулевой вектор сонаправлен с любым вектором. a CD b KF a C D F K b

10 Направление векторов Если два ненулевых вектора коллинеарны и направлены одинаково, то эти векторы называются сонаправленными. Если два ненулевых вектора коллинеарны и направлены противоположно, то эти векторы называются противоположно направленными. Нулевой вектор сонаправлен с любым вектором. a CD b KF C D F K a b a b CD KF

11 Направление векторов Если два ненулевых вектора коллинеарны и направлены одинаково, то эти векторы называются сонаправленными. Если два ненулевых вектора коллинеарны и направлены противоположно, то эти векторы называются противоположно направленными. Нулевой вектор cонаправлен с любым вектором. a CD b KF a b a KF MM a MM b M a C D F K b

12 Равенство векторов Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. Равенство векторов обозначается: a = b Все нулевые векторы равны друг другу. a b M C CC = MM a b a = b

13 Откладывание вектора от данной точки От любой точки можно отложить вектор, равный данному вектору, и притом только один. а А В М N'N' N p M p p II AB MN = AB MN' = AB MN = a

14 Сложение векторов Если тело переместить из точки А в точку В, а потом из точки В в точку С, то его суммарное перемещение из А в С представляется вектором АС. Так складывают векторы АВ и ВС: АВ + ВС = АС. А С В

15 Правило треугольника Вектор АС называется суммой векторов а и b. Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. Для любого вектора а справедливо равенство: a + 0 = a. a = AB b = BC a + b = AB + BC = AC a b a + b A B C

16 Правило параллелограмма Чтобы сложить неколлинеарные векторы а и b,нужно отложить от какой-нибудь точки А векторы АВ = а и АD = b и построить параллелограмм АВСD. Тогда вектор АС = а + b. a = AB = DC b = AD = BC a + b = AB + BC = AC b + a = AD + DC = AC a + b A B D C a b a + b = b + a

17 Свойства сложение векторов Для любых векторов a, b и c справедливы равенства: 1. a + b = b + a (переместительный закон) доказательство см. «правило параллелограмма»правило параллелограмма 2. (a + b) + c = a + (b + c) (сочетательный закон) b a c D c A B C b a b b + c a + b (a+b)+c=(AB+BC)+CD=AC+CD=AD a+(b+c)=AB+(BC+CD)=AB+BD=AD a+(b+c)=a+(b+c) a + b + c

18 Правило многоугольника Сложение нескольких векторов производится следующим образом: первый вектор складывается со вторым, затем их сумма складывается с третьим вектором и т.д.Это правило называется правилом многоугольника. A B C D E F a b c d e a = AB b = BC c = CD d = DE e = EF a + b + c + d + e = AB + DC + CD + DE + EF = AF

19 Вычитание векторов Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины равны и они противоположно направлены. Их сумма равна нулевому вектору. а + (-а) = 0 a -a

20 Вычитание векторов Разностью векторов а и b называется такой вектор, сумма которого с вектором b равна вектору а. а – b = а + (-b) ОА = а, АВ = -b ОВ = а + (-b) = а - b b а а О А -b-b В b А а О В а - b b а а – b = ОВ – ОА = АВ ОВ = а ОА = b ОВ – ОА = АВ а - b

21 Умножение вектора на число Произведением ненулевого вектора a на число k называется такой вектор b, длина которого равна |k|·|a|, причем векторы а и b сонаправлены при k>0 и противоположно направлены при k 0; ab при k < 0; если a = 0, то b = 0. b= - ½ a c = 1,5a d = 2a