Работу выполнил: Субботин Антон Ученик 10 класса МБОУ «Тирянская СОШ» - презентация

1 Работу выполнил: Субботин Антон Ученик 10 класса МБОУ «Тирянская СОШ»

2 Цель исследовательской работы Объект исследования: тригонометрия и тригонометрические уравнения. Предмет исследования: практическое применение тригонометрии. Цель исследования: установить картину возникновения понятий тригонометрии и выявить примеры применения.

3 История возникновения тригонометрии Слово «тригонометрия» впервые встречается в 1505 г. в заглавии книги немецкого теолога и математика Бартоломеуса Питискуса (Bartholomäus Pitiscus, ), а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, геодезии и архитектуре. Происхождение этого слова греческое: τρίγωνον треугольник, μετρεω мера. Иными словами, тригонометрия наука об измерениях треугольников. Возникновение тригонометрии связано с землемерением, астрономией и строительным делом. Хотя название возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны уже 2000 лет назад

4 Синус Длительную историю имеет понятие синуса. Фактически различные отношения отрезков треугольника и окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в 3 в. до н.э. в работах великих математиков Древней Греции Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского. В римский период эти отношения уже достаточно систематично исследовались Менелаем (I в. н. э.), хотя и не приобрели специального названия. Современный синус угла α, например, изучается как полухорда, на которую опирается центральный угол величиной α, или как хорда удвоенной дуги.

5 Косинус Слово косинус намного моложе. Косинус это сокращение латинского выражения complementlysinus, т.е. «дополнительный синус» (или иначе «синус дополнительной дуги»; вспомните cosα= sin( 90° - a)).

6 Тангенс Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в X веке арабским математиком Абу-ль-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он доказал теорему тангенсов. Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы. Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583 г. Tangens переводится как «касающийся» (линия тангенсов – касательная к единичной окружности).

7 Тригонометрические уравнения Простейшие тригонометрические уравнения. Схема решения тригонометрических уравнений. Введение вспомогательного аргумента. Универсальная тригонометрическая подстановка. Решение тригонометрических уравнений с помощью формул. Решение тригонометрических уравнений с помощью разложения на множители. Решение однородных тригонометрических уравнений. Решение нестандартных тригонометрических уравнений.

8 Простейшие тригонометрические уравнения Простейшие тригонометрические уравнения - это уравнения вида f(kx + b) = a, где f - одна из тригонометрических функций: sinx, cosx, tgx. Элементарные тригонометрические уравнения имеют бесконечно много корней.

9 Схема решения тригонометрических уравнений Решение заданного уравнения сводится к решению элементарных уравнений. Средства решения - преобразования, разложения на множители, замена неизвестных. Ведущий принцип: не терять корней.

10 Введение вспомогательного аргумента

11 Универсальная тригонометрическая подстановка

12 Решение тригонометрических уравнений с помощью формул Уравнения, сводящиеся к квадратным. Уравнения, допускающие понижение степени с помощью формул: cos2α =2cos 2 α – 1 и cos2α =1-2sin 2 α

13 Разложение на множители sin2x+cosx=0 2sinxcosx+cosx=0 cosx (2sinx+1) =0 cosx=0 или sinx=1/2

14 Решение однородных тригонометрических уравнений Однородные уравнения – это тригонометрические уравнения, содержащие квадраты синуса, косинуса и произведение синуса на косинус. Их решение основано на том, что синус и косинус одновременно не могут равняться нулю. Делим обе части уравнения на квадрат косинуса. В результате получаем квадратное уравнение относительно тангенса.

15 Практические применения тригонометрии Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела. Большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Также следует отметить применение тригонометрии в таких областях, как теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел (и, как следствие, криптография), сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография.

16 Заключение Я подробнее узнал об истории возникновения тригонометрии. Систематизировал методы решения тригонометрических уравнений. Узнал о применениях тригонометрии в архитектуре, биологии, медицине.

17