Избранные вопросы и задачи планиметрии Пособие для факультативных занятий Учитель математики МОУ СОШ 48 Чебан Любовь Михайловна 2012-2013 учебный год. - презентация

1 Избранные вопросы и задачи планиметрии Пособие для факультативных занятий Учитель математики МОУ СОШ 48 Чебан Любовь Михайловна учебный год

2 Содержание Теорема Чевы Теорема Менелая Задача на применение теорем Чевы и Менелая Задачи в картинках Избранные задачи планиметрии (ГИА)

3 Теорема Чевы Доказательство

4 Для случая параллельных прямых из теоремы Фалеса имеем соотношение теоремы Фалеса Перемножая левые и правые части равенств, получаем искомое равенство. Обратно, пусть выполнено необходимое условие и при этом Тогда, проведя через вершину B прямую найдем точку B' ее пересечения с прямой AC. Как и в случае доказательства первой теоремы, получим Если λ > 0, то B' и B1 делят отрезок AC в одном отношении и, следовательно, совпадают. Если λ < 0, то точки B' и B1 лежат вне отрезка AC по одну сторону от точки A или С в зависимости от того, лежат ли точки A1 на отрезке BC или точка C1 на отрезке AB и снова следует из равенства с необходимостью совпадения точек B1 и B1. Для рассмотрения общего случая снова проведем через вершину B прямую a параллельную прямой AC.Треугольник AC1C подобен треугольнику BC1M. Отсюда следует из подобия треугольников AA1C и NA1B получаем Наконец, из гомотетичности относительно центра O треугольников ONM и OAC имеем Перемножая соответственно левые и правые части равенств, получаем искомое равенство. Доказательство достаточности аналогично случаю основной теоремы.

5 Теорема Менелая Доказательство

6 Проведем через точку С прямую, параллельную прямой AB, и обозначим через K точку пересечения этой прямой с прямой A'C'. Поскольку треугольники и подобны (по двум углам), то – Так как подобными являются также треугольники и, тем самым – Исключая CK, получаем – Остаётся заметить, что возможны два расположения точек А, B, C : либо две из них лежат на соответствующих сторонах треугольника, а третья на продолжении, либо все три лежат на продолжениях соответствующих сторон. Отсюда для отношений направленных отрезков имеем отношений направленных отрезков –

7 Задачи на применение теорем Чевы и Менелая

8 Задачи в картинках x 3x 4y 3y 2z5z 1. S4S4 S3S3 S1S1 S2S Найти: S четырехугольника А В С Н Найти: ВН х Найти: х 2