Повторительно-обобщающий урок по теме «Решение тригонометрических неравенств и их систем» Автор работы: Фетисова Елена Владимировна Должность: учитель. - презентация

1 Повторительно-обобщающий урок по теме «Решение тригонометрических неравенств и их систем» Автор работы: Фетисова Елена Владимировна Должность: учитель математики Предметная область: математика Участники: учащиеся 10 класса (15-16лет)

2 Образовательные: Образовательные: * Обобщить и систематизировать знания учащихся о различных видах тригонометрических неравенств и их систем, способах их решения. * Обобщить и систематизировать знания учащихся о различных видах тригонометрических неравенств и их систем, способах их решения. * Обогатить и углубить знания учащихся применением тригонометрических неравенств и их систем в нестандартных ситуациях. * Обогатить и углубить знания учащихся применением тригонометрических неравенств и их систем в нестандартных ситуациях. * Провести диагностику усвоения системы знаний и умений и её применения для выполнения практических заданий стандартного уровня с переходом на более высокий уровень. * Провести диагностику усвоения системы знаний и умений и её применения для выполнения практических заданий стандартного уровня с переходом на более высокий уровень. Развивательные: Развивательные: * Способствовать развитию умения анализировать, наблюдать и делать выводы. * Способствовать развитию умения анализировать, наблюдать и делать выводы. Воспитательные: Воспитательные: * Выработать самооценку в выборе пути, критерии оценки своей работы и работы товарища. * Выработать самооценку в выборе пути, критерии оценки своей работы и работы товарища. * Повысить интерес учащихся к нестандартным задачам, сформировать у них положительный мотив учения. * Повысить интерес учащихся к нестандартным задачам, сформировать у них положительный мотив учения. Цели урока:

3 Виды тригонометрических неравенств и методы их решения

4 Алгоритм решения неравенств с помощью единичной окружности. Пример. sin x ½ 1. Заменить неравенство уравнением (устно) и отметить на единичной окружности точки, соответствующие уравнению. 1. Заменить неравенство уравнением (устно) и отметить на единичной окружности точки, соответствующие уравнению. 2. Отметить на единичной окружности точки, соответствующие неравенству (выделить соответствующую дугу). 2. Отметить на единичной окружности точки, соответствующие неравенству (выделить соответствующую дугу). 3. Указать направление отсчёта (на выделенной дуге отмечается положительное направление, т. е. против часовой стрелки). 4. Найти начало дуги и угол, ему соответствующий (меньший угол). 5. Найти конец дуги и угол, ему соответствующий (больший угол). 6. Записать ответ в виде двойного неравенства с учётом периодичности функции (слева – угол, соответствующий началу дуги). 7. Записать ответ в виде промежутка. - начало дуги, - конец дуги, С учётом периодичности: Ответ:

5 1. Заменить неравенство уравнением и построить графики функций y=f(x), где f(x) – одна из тригонометрических функций, и y=a. 2. Отметить точки пересечения графиков функций y=f(x) и y=a, найти абсциссы этих точек. 3. Отметить ту часть графика, которая соответствует данному неравенству. 4. На главном периоде выделить промежуток оси x, на котором выполняется заданное неравенство. 5. Записать ответ в виде двойного неравенства (слева-меньший угол) с учётом периодичности функции. 6. Записать ответ в виде промежутка. Ответ: Пример: Алгоритм решения неравенств графическим способом

6 1. С помощью введения нового неизвестного t= ax+ b Суть метода: введя новую переменную t=ax+b, привести неравенство к простейшему виду. Решить полученное неравенство для переменной t. Затем вернуться к переменной x и найти её значение. Записать ответ в виде промежутка. Пример: Решение: Учитывая, что функция f(x)- чётная, запишем неравенство в виде: Пустьтогда неравенство примет вид

7 2. С помощью основных тригонометрических формул. Суть метода: используя основные тригонометрические формулы, приводим неравенство к простейшему виду. Далее применяем алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств. Пример: Решение. Преобразуем левую часть неравенства к виду: Используем формулу понижения степени Пусть 4х=t, тогда неравенство примет вид:

8 3.С помощью введения вспомогательного угла. ( неравенства вида, где А,В,С- данные числа и АВ0). Общий метод: Пусть дано неравенство (1) Разделим обе части неравенства на тогда (1) примет вид: Т.к. то можно подобрать такой угол, что и Тогда неравенство (2) можно записать в виде или (3). Если же подобрать такой угол, что и то неравенство (2) можно записать в виде (4). Таким образом, решение неравенства (1) сводится к решению простейшего неравенства (3) или (4).

9 Пример: Решение: Преобразуем левую часть неравенства: Используем формулы и тогда Разделим обе части неравенства на получим Так как и то Пустьтогда

10 III. Неравенства, решаемые заменой переменной 1.Приводимые к квадратным или рациональным заменой t=f(x), где f(x) - одна из тригонометрических функций. Пример: Решение. Преобразуем данное неравенство: Пусть тогда неравенство примет вид: Решим данное неравенство:

11 2. Неравенства, решаемые введением новой переменной t=sinx+cosx. x+2sinxcosx+cos x-1=(sinx+cosx) -1=t -1. Итак, t=sinx+cosx, t -1=sin2x. Рассмотрим неравенства, в которые входят выражения sinx+cosx и sin2x. Их удобно решать при помощи замены неизвестного t=sinx+cosx, так как при этом x+2sinxcosx+cos x-1=(sinx+cosx) -1=t -1. Итак, t=sinx+cosx, t -1=sin2x. Решение. Пусть тогда. В результате неравенство примет вид Разделим обе части неравенства на, получим: Пустьтогда неравенство примет вид Пример 1.

12 1.С помощью преобразований привести неравенство к виду f(t)>0 (f(t)

13 Пример: Решение. 1. f(x)= 2. Т(f)=4 3. Найдём нули функции на промежутке f(x)=0; 2sinx+1=0; 2sinx=-1; sinx=-; x= Выберем из данной серии решений те значения х, которые принадлежат Итак, 4. Найдём точки разрыва функции на промежутке Выберем из данной серии значения х, принадлежащие промежутку Итак, 5.

14 6. Определим знак функции в каждой части методом пробных точек. 7. Неравенство выполняется при 8. Учитывая периодичность функции, запишем ответ: левая часть

15 V. Системы тригонометрических неравенств. Алгоритм решения систем неравенств: 1. Отметить на окружности решение первого неравенства системы. 2. Отметить решение второго неравенства системы. 3. Выделить общее решение системы (пересечение дуг). 4. Записать общее решение системы неравенств. Пример: Решение.

16 VI. Использование тригонометрических неравенств для нахождения области определения функции. Пример: Решение. Область определения функции находим из условий: Тогда Ответ:

17 VII. Неравенства смешанного типа. Пример: Решение.

18 Работу выполнила Учитель математики г.Фокино Брянской области Фетисова Елена Владимировна