§11. Степенные ряды.. степенной ряд коэффициенты центр При z= z 0 ряд сходится. - презентация

1 §11. Степенные ряды.. степенной ряд коэффициенты центр При z= z 0 ряд сходится.

2 сходится в единственной точке сходится на всей комплексной плоскости

3 Теорема Абеля. Если сходится в точке z 1 z 0, то он сходится причем в круге сходится равномерно.

4 Доказательство. В силу необходимого условия сходимости ряда сходится

5

6 Следствия теоремы Абеля. 1) Если расходится в точке z 2 z 0, то он расходится

7 Доказательство. сходится. сходится (т. Абеля). сходится

8 2) Круг сходимости. Радиус сходимости. расходится.

9 Круг сходимости степенного ряда наибольшая область сходимости степенного ряда Число R>0- радиус сходимости степенного ряда. ряд сходится, ряд расходится, возможно все.

10 3) Формула Коши-Адамара. Доказательство. Пусть

11 Надо доказать сходится. расходится.

12 Докажем а). Пусть Положим Т.к. сходится.

13 Докажем а). Пусть Положим Т.к. расходится

14 т. Вейерштрасса =>

15 5) По т. Вейерштрасса степенной ряд внутри круга сходимости При этом радиус сходимости не меняется !!! можно дифференцировать и интегрировать почленно любое число раз.

16

17 сходится. 7) Пример.

18

19 Теорема Тейлора.

20 Доказательство. Возьмем

21

22

23 Замечания. разложение функции в ряд Тейлора. C- произвольный кусочно-гладкий контур, содержащий внутри себя точку z 0.

24 сходимость равномерная

25 §12. Единственность определения аналитической функции. п.1. Понятие правильной точки. Пусть f(z) задана в g, за исключением может быть некоторых изолированных точек. Точка z 0 g называется правильной (регулярной) точкой f(z) в g, если

26 Если точка z g не является правильной, то она называется особой точкой функции f(z) в g. Замечание. Если правильная точка. граничные точки могут быть как правильными, так и особыми. Если f(z) задана в

27 п.2. Нули аналитической функции. - нуль аналитической функции.

28 - нуль n-того порядка.

29 Теорема о нулях аналитической функции.

30 Доказательство. По непрерывности Пусть

31

32

33

34 Следствия. 1) Все нули изолированные. 2) Если то в может быть лишь конечное число нулей f(z).

35 Доказательство. пусть в выделить подпоследовательность то из них можно

36 На расширенной комплексной плоскости целая функция может иметь лишь счетное число нулей, причем предельной точкой этого множества является бесконечно удаленная точка. Если может быть лишь конечное число нулей f(z).

37 п.3. Теорема единственности определенной аналитической функции. Если

38 Для доказательства достаточно при помощи теоремы о нулях установить, что функция h(z)=f 1 (z)-f 2 (z) 0 в g.

39 Следствие теоремы единственности Множества задания аналитической функции В области g может существовать только одна аналитическая функция, принимающая заданные значения на

40 однозначно определяется заданием своих значений на a), б), в).

41 Существенное замечание. Может - не значит существует. Нельзя произвольно задавать значения f(z n ) или f(C) или f( g') !!!