Равнобедренные треугольники Треугольник называется равнобедренным, если у него … две стороны равны (рис. 1). Эти равные стороны называются …боковыми сторонами, - презентация

1 Равнобедренные треугольники Треугольник называется равнобедренным, если у него … две стороны равны (рис. 1). Эти равные стороны называются …боковыми сторонами, а третья сторона –основанием. Треугольник называется равносторонним, если у него … все стороны равны (рис. 2).

2 Теорема В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является одновременно медианой и высотой. Доказательство. Пусть ABC – равнобедренный треугольник, AC = BC, CD – биссектриса. Тогда треугольник ACD равен треугольнику BCD по первому признаку равенства треугольников (АС = ВС, СD – общая сторона, ACD = BCD). Следовательно, имеют место равенства AD = BD, ADC = BDC. Первое из этих равенств означает, что CD является медианой данного треугольника, второе – что CD является его высотой.

3 Упражнение 1 На рисунке AB = BC. Докажите, что 1 = 2. Решение: Треугольник ABC – равнобедренный, так как AB = BC. Следовательно, BAC = BCA, как углы при основании равнобедренного треугольника. Отсюда следует, что 1 = 2 как смежные углы соответственно равным углам.

4 Упражнение 2 В треугольнике CDE 1= 2. Верно ли утверждение о том, что это равнобедренный треугольник? Ответ: Да.

5 Упражнение 3 Ответ: а), б), в) Да. В треугольнике FGH 1 = 2 = 3. Верно ли утверждение о том, что это треугольник: а) равнобедренный; б) равносторонний; в) правильный?

6 Упражнение 4 Ответ: 0,8 м. Периметр равнобедренного треугольника равен 2 м, а основание - 0,4 м. Найдите боковую сторону.

7 Упражнение 5 Ответ: 3,5 м. Периметр равнобедренного треугольника равен 7,5 м, а боковая сторона - 2 м. Найдите основание.

8 Упражнение 6 Ответ: а) 3,2 м; 6, 2 м; 6,2 м; б) 7,2 м; 4,2 м; 4,2 м. Периметр равнобедренного треугольника равен 15,6 м. Найдите его стороны, если: а) основание меньше боковой стороны на 3 м; б) основание больше боковой стороны на 3 м.

9 Упражнение 7 Ответ: 6 см; 16 см; 16 см. Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника относятся как 3:8. Найдите стороны этого треугольника, если его периметр равен 38 см.

10 Упражнение 8 Ответ: 15 м. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана BD. Найдите ее длину, если периметр треугольника АВС равен 50 м, а треугольника АВD - 40 м.

11 Упражнение 9 Доказательство: Пусть треугольник ABC равнобедренный (AC = BC). N, M, K – середины сторон. Тогда треугольники AMN и BMK равны по первому признаку и, следовательно, NM = MK, т.е. треугольник NMK равнобедренный. Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами также равнобедренного треугольника.

12 Упражнение 10 В треугольнике АВС АВ = АС и 1= 2. Докажите, что 3 = 4. Решение: Треугольники ABE и ACD равны по второму признаку равенства треугольников (AB = AC, BAE = CAD, ABE = ACD). Следовательно, AEB = ADC и, значит, 3 = 4.

13 Упражнение 11 Решение: Треугольники ACD и AEB равны по второму признаку равенства треугольников (AD = AE, CAD = BAE, ADC = AEB). Следовательно, CD = BE и, значит, BD = CE. На рисунке AD = AE, CAD = BAE. Докажите, что BD = CE.

14 Упражнение 12 Доказательство: Пусть ABC – равнобедренный треугольник (AB = BC), AN и CM – медианы. Тогда AM = CN и треугольники ACM и CAN равны по первому признаку. Следовательно, AN = CM. По рисунку докажите, что медианы равнобедренного треугольника, проведенные к его боковым сторонам, равны.

15 Упражнение 13 На рисунке 1 = 2, 5 = 6. Докажите, что 3 = 4. Доказательство: Треугольники ABC и ABD равны по второму признаку равенства треугольников. Следовательно, BC = BD. Треугольник BCD равнобедренный и, значит, 3 = 4.

16 Упражнение 14 Доказательство: Треугольники ADF и BED равны по первому признаку равенства треугольников (AD = BE, AF = BD, угол A равен углу B). Следовательно, DF = ED. Аналогично доказывается, что ED = FE. На сторонах правильного треугольника АВС отложены равные отрезки AD, BE и CF. Точки D, E и F соединены отрезками. Докажите, что треугольник DEF правильный.

17 Упражнение 15 Доказательство: Треугольники ADF и BED равны по первому признаку равенства треугольников (AD = BE, AF = BD, угол A равен углу B). Следовательно, DF = ED. Аналогично доказывается, что ED = FE. На продолжении сторон правильного треугольника АВС отложены равные отрезки AD, BE и CF. Докажите, что треугольник DEF правильный.