Признак параллелограмма Теорема 1. (Первый признак параллелограмма.) Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - - презентация

1 Признак параллелограмма Теорема 1. (Первый признак параллелограмма.) Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм. Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD стороны АВ и CD равны и параллельны. Проведем диагональ АС. Треугольники АВС и СDА равны по первому признаку равенства треугольников (АС – общая сторона, АВ = CD по условию, 1 = 2, как внутренние накрест лежащие углы). Поэтому внутренние накрест лежащие углы 3 и 4 равны. Следовательно, прямые AD и ВС параллельны. Таким образом, противоположные стороны четырехугольника ABCD параллельны, и ABCD – параллелограмм.

2 Признак параллелограмма Теорема 2. (Второй признак параллелограмма.) Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм. Доказательство. Пусть в четырехугольнике АВСD имеют место равенства АВ = CD, BC = AD. Одна из диагоналей разбивает его на два треугольника. Пусть это диагональ АС. Тогда треугольники АВС и CDA равны (по третьему признаку равенства треугольников). Следовательно, CAB = ACD и, значит, прямые АВ и CD параллельны. Аналогично, ACB = CAD и, значит, прямые ВС и AD параллельны. Таким образом, противоположные стороны четырехугольника ABCD параллельны и ABCD – параллелограмм.

3 Упражнение 1 Суммы противоположных углов четырехугольника равны 180 о. Является ли этот четырехугольник параллелограммом? Ответ: Нет.

4 Упражнение 2 Все углы четырехугольника равны. Является ли этот четырехугольник параллелограммом? Ответ: Да.

5 Упражнение 3 Суммы соседних углов четырехугольника равны 180 о. Является ли этот четырехугольник параллелограммом? Ответ: Да. В этом случае противоположные стороны четырехугольника параллельны, значит, он является параллелограммом.

6 Упражнение 4 Противоположные углы четырехугольника равны. Является ли этот четырехугольник параллелограммом? Ответ: Да. В этом случае сумма соседних углов равна 180 о. Следовательно, противоположные стороны четырехугольника параллельны, значит, он является параллелограммом.

7 Упражнение 5 Две стороны четырехугольника параллельны, а две другие равны. Верно ли утверждение о том, что этот четырехугольник является параллелограммом? Ответ: Нет.

8 Упражнение 6 В четырехугольнике ABCD AB = AD и BC = CD. Является ли этот четырехугольник параллелограммом? Ответ: Нет.

9 Упражнение 7 Все стороны четырехугольника равны. Является ли этот четырехугольник параллелограммом? Ответ: Да.

10 Упражнение 8 На сторонах параллелограмма ABCD отложены равные отрезки BE = DF. Является ли четырехугольник BEDF параллелограммом? Ответ: Да.

11 Упражнение 9 На клетчатой бумаге отмечены точки А, В, С, D. Докажите, что прямые АВ и CD параллельны. Решение: AC и BD равны и параллельны. Следовательно, четырехугольник ABCD параллелограмм. Значит, AB || CD.

12 Упражнение 10 Из данной точки к окружности радиуса R проведены две взаимно перпендикулярные касательные. Чему равны отрезки этих касательных, заключенных между данной точкой и точками касания? Ответ: R.

13 Упражнение 11 Дан параллелограмм ABCD. E, F, G, H – середины его сторон. Будет ли четырехугольник EFGH параллелограммом? Почему? Ответ: Треугольники AHE и CFG равны по первому признаку равенства треугольников. Следовательно, HE = FG. Аналогично, EF = HG. Таким образом, EFGH – параллелограмм по второму признаку.

14 Упражнение 12 На сторонах параллелограмма ABCD отложены две пары равных отрезков: BE = DG и BF = DH. Будет ли четырехугольник EFGH параллелограммом? Ответ: Да. Решение аналогично предыдущей задаче.

15 Упражнение 13 В параллелограмме ABCD биссектрисы углов B и D пересекают диагональ AC в точках K и L, которые соединены соответственно с вершинами параллелограмма D и B. Является ли четырехугольник KBLD параллелограммом? Ответ: Да.

16 Упражнение 14 Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Как связаны между собой стороны данного параллелограмма? Ответ: Одна сторона в два раза больше другой.

17 Упражнение 15 Биссектрисы углов параллелограмма ABCD пересекают его стороны в точках K, L, M и N. Определите вид четырехугольника KLMN. Ответ: Параллелограмм.

18 Упражнение 16 Объясните, почему ось от лампы, изображенной на рисунке всегда вертикальна. Ответ: ABCD – параллелограмм, стороны AB и CD которого вертикальны. Ось лампы параллельна CD и, следовательно, вертикальна.