§10. Ряды аналитических функций. п.1. Числовые ряды. числовой ряд. - презентация

1 §10. Ряды аналитических функций. п.1. Числовые ряды. числовой ряд

2 Определение. Числовой ряд называется сходящимся, если - сумма ряда.

3 Необходимый и достаточный признак сходимости: критерий Коши. > 0 N( ): S n+m -S n < n N и m>0. Необходимый признак : a n 0. Доказательство. Пусть ряд сходится, тогда > 0 N( ): S n+m -S n < n N и m>0.=> |a n+1 |= S n+1 -S n < n N => a n 0.

4 -n-й остаток ряда.

5 Необходимый и достаточный признак сходимости Доказательство. Необходимость. Если ряд сходится, то |r n |=|S-S n | 0. Достаточность. ряд сходится. Пусть |r n | => > 0 N( ): r n r n+m |S n+m -S n |=|r n+m -r n |

6 Определение. Если то ряд называется абсолютно сходящимся. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится. Обратное, вообще говоря, неверно. Достаточными критериями абсолютной сходимости рядов являются признаки Даламбера, Коши, сравнения.

7 Признак Даламбера. сходится. расходится.

8 Признак Даламбера в предельной форме. при L < 1 сходится. Еслито при L > 1 расходится. при L=1 ничего сказать нельзя.

9 Доказательство. Если L < 1, то L L + < 1 -. Т.к.то Аналогично доказывается расходимость ряда при L>1. => a k+1 |

10 Признак Коши. Если сходится. Если расходится.

11 Признак Коши в предельной форме. при L < 1 сходится. Еслито при L > 1 расходится. при L=1 ничего сказать нельзя.

12 Доказательство. Если L < 1, то L L + < 1 -. Аналогично доказывается расходимость ряда при L>1. => |a k |

13 п.2. Функциональные ряды. функциональная последовательность функциональный ряд

14 Определение. Если сумма функционального ряда сходится в g. > 0 N (, z ): r n ( z ) < n N(, z ). Если сходится в g, то

15 Необходимый и достаточный признак сходимости: критерий Коши. > 0 N(, z): S n+m ( z ) - S n ( z ) 0.

16 п.3. Равномерная сходимость. > 0 N( ): r n ( z ) < n N( ) z равномерно сходится в g. Понятие равномерной сходимости- глобальное.

17 > 0 N( ): S n+m (z)-S n (z ) < n N, m > 0, z Необходимый и достаточный признак равномерной сходимости: критерий Коши.

18 Доказательство. Необходимость. > 0 N( ): f( z ) - S n ( z ) f(z)-S n+m (z) 0 z g => S n+m (z) - S n (z) 0 z g.

19 Достаточность. n N, m > 0, z=> > 0 N( ): S n+m (z)-S n (z ) < (*) f( z ) - S n ( z ) (*) m r n ( z ) < n N( ) z g

20 Достаточный признак равномерной сходимости: мажорантный признак Вейерштрасса. Если | u k ( z ) | 0 k N z g и Доказательство.

21 п.4. Свойства равномерно сходящихся рядов. Доказательство.

22 кусочно- гладкий контур Доказательство.

23 I Теорема Вейерштрасса.

24 Доказательство. 1) Рассмотрим (свойство 1). Свойство 2 (т. Коши) Т. Морера замкнутый контур

25 Замечание. 2) Рассмотрим замкнутый контур

26 Замечание.

27 3) Рассмотрим замкнутый контур, g внутри него, z g и С | z- |>d 0. |r n ( )|

28

29 Замечание

30 II Теорема Вейерштрасса. Тогда Доказательство S n+m ( )-S n ( ) S n+m (z)-S n (z) < для z g – в силу принципа максимума.