Пределы функций Понятие, основные определения, свойства, методы вычислений. - презентация

1 Пределы функций Понятие, основные определения, свойства, методы вычислений

2 План I Понятие предела функции II Геометрический смысл предела III Бесконечно малые и большие функции и их свойства IV Вычисления пределов: 1) Некоторые наиболее употребительные пределы; 2) Пределы непрерывных функций; 3) Пределы сложных функций; 4) Неопределенности и методы их решений

3 Понятие предела функции Определение: Пределом функции y= f(x) называется некоторое число b при xa. И записывается это так :

4 Геометрический смысл предела Определение: Для любого ε>0 можно указать δ- окрестность точки а на оси Ох,такую что для всех х из этой окрестности кроме х=а, соответствующее значение y лежат в ε- окрестности точки b Математическая запись: При |x-a|

5 Геометрический смысл предела (продолжение) Если число b 1 есть предел функции y= f(x) при xa, так что x0 то число b 2 называется правым односторонним пределом точки а: Если b 1 =b 2 =b, то число b есть предел этой функции при xa :

6 Бесконечно малые и большие функции и их свойства Определение: Функция f(x) называется бесконечно малой при xa если предел этой функции Определение: Функция f(x) называется бесконечно большой при xa если предел этой функции

7 Свойства бесконечно малых и больших функции Функция обратная по величине бесконечно большой, есть бесконечно малая Функция обратная по величине бесконечно малой, но отличная от 0, есть бесконечно малая

8 Основные теоремы о пределах Теорема 1: Для того, чтобы число А было пределом функции f(x) при, необходимо и достаточно, чтобы эта функция была представлена в виде, где - бесконечно малая. Следствие 1: Функция не может в одной точке иметь 2 различных предела. Теорема 2: Предел постоянной величины равен самой постоянной Теорема 3: Если функция для всех x в некоторой окрестности точки a, кроме, быть может, самой точки a, и в точке a имеет предел, то

9 Основные теоремы о пределах (продолжение) Теорема 4: Если функция f 1 (x) и f 2 (x) имеют приделы при, то при, имеет пределы также их сумма f 1 (x)+f 2 (x), произведение f 1 (x)*f 2 (x), и при условии частное f 1 (x)/f 2 (x), причем Следствие 2: Если функция f(x) имеет предел при, то,где n – натуральное число. Следствие 3: Постоянный множитель можно выносить за знак предела

10 Методы: 1. Разложение числителя и знаменателя на множители с последующим сокращением 2. Устранение иррациональных разностей. Домножение на сопряженное. 3. Первый замечательный предел. Неопределенности и методы их решений Неопределенность вида

11 Методы: Деление на наибольшую степень Предел отношения двух многочленов (при условии, что аргумент стремится к ) равен пределу отношения их старших членов.

12 Примеры:

13