Построение сечений. Наиболее эффективными в практике преподавания в средней школе является следующие три метода Метод следов. Метод внутренней проектирования. - презентация

1 Построение сечений

2 Наиболее эффективными в практике преподавания в средней школе является следующие три метода Метод следов. Метод внутренней проектирования. Комбинированный. Конец

3 Метод следов В общем случае плоскость сечения имеет общую прямую с плоскостью каждой грани многогранника. Прямую, по которой секущая плоскость пересекает плоскость какой-либо грани многогранника, называют следом секущей плоскости. Ясно, что секущая плоскость имеет столько следов, сколько плоскостей граней она пересекает. На практике чаще всего находят такой след секущей плоскости, который лежит в плоскости нижнего основания многогранника. следом секущей Задача 1

4 Задача 1. Дана параллелепипед АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 и в плоскости АВС прямая S – след секущей плоскости. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, следом которой является прямая S, если известно, что еще, что эта плоскость проходит через точку K, лежащую на ребре АА 1 S Решение Д1Д1 А C Д А1А1 B1B1 C1C1 К B

5 (К 1 ) (L1)(L1) 1) Найдем точку К 1 – проекцию точки К на плоскость АВС. Точка К 1 совпадает с точкой А. 2) Найдем точку в которой секущая плоскость пересекает ребро ДД 1, т.е. её проекция будет совпадать с точкой Д. Пусть эта точка будет L её проекция L 1. Далее эта точка пересечения прямых KL и K 1 L 1 лежат на следе секущей плоскости (S) S А C Д А1А1 B1B1 C1C1 К B Д1Д1

6 3) Находим точку пересечения прямых К 1 L 1 следом секущего плоскости, т.е. с прямой S. Проводим прямую K 1 L 1 S=T T 4 ) Прямая KT ДД 1 =L L S (К 1 ) (L1)(L1) А C Д А1А1 B1B1 C1C1 К B Д1Д1

7 S 5) Аналогично находим точку М 1 ( М 1 проекция точки М и она совпадает с точкой В) М 1 K 1 = АВ S = P P (М 1 ) (К 1 ) (L1)(L1) А C Д А1А1 B1B1 C1C1 К B Д1Д1 L T

8 S T L P М 6) Соединяем Р и К, лежащие в одной плоскости АА 1 ВВ 1. Прямая РК пересекает ребро ВВ 1 в точке М. (К 1 ) (L1)(L1) А Д А1А1 B1B1 C1C1 К B Д1Д1 (М 1 ) C

9 S T L P М (К 1 ) (L1)(L1) А Д А1А1 B1B1 C1C1 К B Д1Д1 (N1)(N1) F 7) Аналогично находим точку N 1 ( N 1 проекция точки N и она совпадает с точкой C ) N 1 M 1 = ВC S = F (М 1 ) C

10 S T L P М (К 1 ) (L1)(L1) А Д А1А1 B1B1 C1C1 К B Д1Д1 (N1)(N1) F (М 1 ) 8) Соединяем точки M и F, MF CC 1 = N N C

11 S T L P М (К 1 ) (L1)(L1) А C Д А1А1 К B Д1Д1 (N1)(N1) F (М 1 ) N 9) Соединяем точки N и L B1B1 C1C1

12 S T L P М (К 1 ) (L1)(L1) А C Д А1А1 К B Д1Д1 (N1)(N1) F (М 1 ) N B1B1 C1C1 10) KMNL – искомое сечение

13 Метод внутреннего проектирования. Этот метод удобен при построении сечений в тех случаях, когда почему-либо неудобно находить след секущей плоскости, например, след получается далеко от заданной фигуры. Задача 2

14 Задача 2. Дан параллелепипед АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1. Точка Р лежит на грани СС 1 Д 1 Д, точка Q на ребре В 1 С 1, а точка R на ребре АА 1. Построить сечение параллелепипеда плоскостью РQR. Решение Д1Д1 А C Д А1А1 B1B1 C1C1 R B P Q

15 Д1Д1 А C Д А1А1 B1B1 C1C1 R B P Q 1. а) Проведем QQ 1 // DD 1 получили плоскость QQ 1 DD 1 б) Через Р Р 2 Р 1 //AA 1 получили плоскость АА 1 Р 2 Р 1 Q1Q1 P1P1 P2P2 При построении сечения этим методом не требуется находить след секущей плоскости. Выполним нужные построение в следующем порядке:

16 Д1Д1 А C Д А1А1 B1B1 C1C1 R B P Q Q1Q1 P1P1 P2P2 P1P1 P1P1 2. ( QQ 1 DD 1 ) (АА 1 Р 2 Р 1 ) = ММ 1 3. Р и R АА 1 Р 2 Р 1, М 2 ММ 1 и М 2 QQ 1 DD 1 PR ММ 1 = М 2 М М 1 М 2

17 Д1Д1 А C Д А1А1 B1B1 C1C1 R B P Q Q1Q1 P1P1 P2P2 P1P1 P1P1 М1М1 М2М2 4. Q М 2 QQ 1 D 1 D QМ 2 DD 1 =S т.е на ребре D D 1 найдена точка секущей плоскости. Находим точка пересечения других ребер с секущей плоскостью. S

18 5. Соединяем R и S A A 1 D 1 D (RS) Д1Д1 А C Д А1А1 B1B1 C1C1 R B P Q Q1Q1 P1P1 P2P2 P1P1 P1P1 6. Соединяем S, P D 1 C 1 CD SP C 1 C = L S L

19 7. Q и L ( BCC 1 B 1 ) проведем QL, QL BB 1 = N А C Д А1А1 B1B1 C1C1 R B P Q P1P1 P1P1 P1P1 8. R и N и А 1 АВ 1 В, RN AА 1 B 1 В =K; (RN A 1 B 1 = K) S L N K Д1Д1 Q1Q1 P2P2

20 Д1Д1 А C Д А1А1 B1B1 C1C1 R B P Q P1P1 P2P2 P1P1 P1P1 S L K 9. R S L Q K – искомая плоскость.

21 Комбинированный метод При построении сечений этим методом на каких-то этапах решения принимаются приемы, изложенные в методе следов или в методе внутреннего проектирования. Задача 3

22 Задача 3. На ребрах ВС и А 1 В 1 параллелепипед АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 взяты соответственно точки Р и Q. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через прямую СQ параллельно прямой АР Решение А C Д C1C1 Р C Д1Д1 А1А1 B1B1 Q B

23 1) Построим сначала вспомогательное сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через прямую АР и какую-нибудь (.) прямой СQ, т.е через (.) С, т.к плоскость АВСД проходит через прямую АР и через (.) С. Проводим СК // АР, СК АД=К А C Д C1C1 Р C Д1Д1 А1А1 B1B1 Q B К

24 2) Находим точку пересечения следа СК секущей плоскости QCK с прямой АВ (L 1 B) CK AB = K 1 А C Д C1C1 Р C Д1Д1 А1А1 B1B1 Q B К 3) K 1 и Q плоскость АА 1 ВВ 1, соединяем K 1 и Q (K 1 Q ) К1К1 4) K 1 Q АА 1 = L L

25 5) К, L АA 1 ДД 1 проводим KL А C Д C1C1 Р C Д1Д1 А1А1 B1B1 Q B К 6) Q M // KC, QM А 1 В 1 C 1 D 1, (А 1 В 1 C 1 D 1 // АВCD ), M В 1 C 1 К1К1 7) АA 1 D 1 D // BB 1 C 1 C, M и С BВ 1 C 1 C проведем МС L М

26 8) КLQMC искомая плоскость А C Д C1C1 Р C Д1Д1 А1А1 B1B1 Q B К L М