Урок 3 Геометрическая вероятность.. Геометрическая модель. Многие практические задачи приводят к вопросам теории вероятности, которые не укладываются. - презентация

1 Урок 3 Геометрическая вероятность.

2 Геометрическая модель. Многие практические задачи приводят к вопросам теории вероятности, которые не укладываются в разобранную выше схему конечного числа попарно несовместных исходов испытаний. Пусть, например, стержень наудачу разламывается на три части. Какова вероятность того, что из получившихся отрезков можно будет построить треугольник? В этой задаче мы имеем бесконечное множество исходов, так как разлом может попасть на любую точку стержня. Здесь мы будем пользоваться иным определением вероятности, которое назовем геометрическим.

3 Рассмотрим следующую модель. Пусть на отрезок АВ бросают наудачу точку. Назовем вероятностью попадания этой точки на часть этого отрезка отношение длины этой части к длине всего отрезка ( если часть состоит из нескольких кусков, то надо сложить длины этих кусков). Вместо отрезка АВ можно взять некоторую геометрическую фигуру, имеющую конечную площадь и считать вероятностью попасть в часть X этой фигуры отношение площадей указанной части и всей фигуры. CDA B

4 Итак, геометрическая вероятность – это вероятность попадания точки в некоторую область. (отрезок, часть плоскости, шар, и т.д.) Пусть Ω – область на плоскости, D Ω. μ(Ω), μ(D) – площади этих областей. В Ω наудачу бросается случайная точка ω. Вероятность попадания в любую подобласть области Ω зависит только от её площади. Тогда P{ω D} = μ(D) / μ(Ω).

5 Замечание. Геометрическая модель имеет ограниченную область применения ввиду требования равновозможности отдельных точек. Пример 1. Вернемся к задаче о разламывании стержня. Пусть на отрезок длины 1 бросают наудачу две точки. Они разбивают отрезок на три отрезка. Какова вероятность, что из полученных трех отрезков можно сложить треугольник? Заданный отрезок рассматриваем как отрезок [0,1] числовой прямой. Тогда наудачу брошенные точки имеют координаты – числа x и y, принадлежащие отрезку [0,1]. xy0 1

6 Но любую пару чисел можно рассматривать как координаты точки на плоскости. Поскольку 0x1, 0y1, то эти точки (x,y) наудачу брошены в квадрат со стороной 1. Посмотрим теперь какую фигуру образуют точки, координаты которых удовлетворяют условию примера. Для того, чтобы из этих трех отрезков можно было построить треугольник, необходимо и достаточно, чтобы длины этих отрезков удовлетворяли неравенству треугольника.

7 X Y 1 10,5 При xy получаем: x

8 Y 1 10,5 X При x > y получаем: y < (x-y) +(1-x); x-y < y +(1-x); 1-x < y +(x-y), что после преобразований дает систему неравенств: которой на плоскости XOY соответствует треугольник NMK площадь которого S=1/8. N M K

9 Площадь квадрата равна 1. Следовательно, вероятность построить треугольник равна P=(1/8+1/8)/1=1/4. Пример 2. (задача Бюффона). На плоскости проведено семейство параллельных прямых. Расстояние между соседними прямыми равно m. На эту плоскость наудачу бросается отрезок длины m. Какова вероятность, что отрезок пересекается хоть с одной прямой из этого семейства? Решение.

10 Обозначим через y расстояние от верхнего конца отрезка до ближайшей снизу прямой. Проведем луч с началом в верхней (левой) точке отрезка, параллельный прямым семейства и идущий направо. Обозначим через x угол между этим лучом и отрезком. Мы получили пару чисел, удовлетворяющих неравенствам: 0x

11 Для того, чтобы отрезок пересекался хотя бы с одной из прямых семейства, необходимо и достаточно выполнение неравенства y |AB| = m sinx, которым на рисунке 2 определена заштрихованная фигура. Найдем ее площадь: Так как площадь прямоугольника, в который наудачу брошена точка, S=πm, то искомая в примере вероятность p=S 1 /S=2m/πm=2/π.

12 Пример 3. (задача о встрече). Два школьника условились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течении ¼ часа, после чего уходит. Какова вероятность, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода? Решение. X Y 1/4 0 x 1, 0 y 1, |y-x| 1/4. Тогда y x +1/4, y x - 1/4. S кв. =1, S ф =1-2(3/4·3/4·1/2)= 1-9/16 = =7/16. Следовательно, p=S ф /S кв. =7/ /4