Магический квадрат Общие сведения. Маги́ческий, или волше́бный квадра́т это квадратная таблица, заполненная n^2 числами, таким образом, что сумма чисел. - презентация

1 Магический квадрат Общие сведения. Маги́ческий, или волше́бный квадра́т это квадратная таблица, заполненная n^2 числами, таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях оказывается одинаковой. Нормальным называется магический квадрат, заполненный целыми числами от 1 до n2. Магические квадраты существуют для всех порядков, за исключением n = 2, хотя случай n = 1 тривиален квадрат состоит из одного числа. Минимальный нетривиальный случай показан ниже, он имеет порядок 3. Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях, называется магической константой, M.

2 Магический квадрат Квадрат Ло Шу. Единственный нормальный магический квадрат 3×3. Был известен ещё в Древнем Китае, первое изображение на черепаховом панцире датируется 2200 до н.э

3 Магический квадрат Квадрат Альбрехта Дюрера. Магический квадрат 4×4, изображённый на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия I», считается самым ранним в европейском искусстве. Два средних числа в нижнем ряду указывают дату создания картины (1514) Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2×2, в центральном квадрате ( ), в квадрате из угловых клеток ( ), в квадратах, построенных «ходом коня» ( и ), в прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах ( и ). Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух центрально симметрично расположенных чисел равна 17.

4 Магический квадрат Дьявольский магический квадрат Дьявольский магический квадрат магический квадрат, в котором также с магической константой совпадают суммы чисел по ломаным диагоналям (диагонали, которые образуются при сворачивании квадрата в тор) в обоих направлениях. Такие квадраты называются ещё пандиагональными. Существует 48 дьявольских магических квадратов 4×4 с точностью до поворотов и отражений. Если принять во внимание еще и их дополнительную симметрию торические параллельные переносы, то останется только 3 существенно различных квадрата: Пандиагональные квадраты существуют для нечётного порядка n>3, для любого порядка двойной чётности n=4k (k=1,2,3…) и не существуют для порядка одинарной чётности n=4k+2 (k=1,2,3…). Пандиагональные квадраты четвёртого порядка обладают рядом дополнительных свойств, за которые их называют совершенными. Совершенных пандиагональных квадратов нечётного порядка не существует. Среди пандиагональных квадратов двойной чётности выше 4 имеются совершенные. Пандиагональных квадратов пятого порядка С учётом торических параллельных переносов имеется 144 различных пандиагональных квадрата. Один из них показан ниже.

5 Магический квадрат Пандиагональный квадрат

6 Магический квадрат Примеры более сложных квадратов Методически строго отработаны магические квадраты нечётного порядка и порядка двойной чётности. Формализация квадратов порядка одинарной чётности намного труднее. Иллюстрирующие схемы