Список литературы 1. Гнеденко б.В. Курс теории вероятностей. – М.: Физматгиз, 1988. 2. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. 2-е изд. - презентация

1 Список литературы 1. Гнеденко б.В. Курс теории вероятностей. – М.: Физматгиз, Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. 2-е изд. М., Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики. 3-е изд., – Спб.: Издательство «лань», 2004 – 256 с. 4. Бочаров П.П., Печенкин А.В. Теория вероятностей. Математическая статистика. – М.: Гардарика, – 328 с.

2 2 5. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, – 405 с. 6. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учебное пособие для студентов вузов/ М.: Высшая школа, – 405 с. Список литературы

3 Лекция 1 Предельные теоремы теории вероятностей: Закон больших чисел и Центральная предельная теорема

4 4 Неравенство Чебышева

5 5

6 6 Сходимость по вероятности Последовательность случайных величин Сходится по вероятности к величине a если для любых > 0 и > 0 существует такое n(, ), начиная с которого выполняется неравенство: или

7 7 Сходимость по вероятности

8 8 Графическая иллюстрация сходимости по вероятности

9 9 Теорема Чебышева При неограниченном увеличении числа независимых испытаний среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины, имеющей конечную дисперсию, сходится по вероятности к её математическому ожиданию.

10 10 Теорема Чебышева

11 11 Обобщенная теорема Чебышева При неограниченном увеличении числа независимых испытаний над случайными величинами, имеющими ограниченные дисперсии, среднее арифметическое наблюдаемых значений сходится по вероятности к среднему арифметическому математических ожиданий эти величин.

12 12 Обобщенная теорема Чебышева

13 13 Теорема Бернулли При неограниченном увеличении числа независимых опытов в постоянных условиях частота рассматриваемого события А сходится по вероятности к его вероятности p в отдельном испытании.

14 14 Индикатор События И Его Свойства Индикатор события – это случайная величина, принимающая значение, равное единице, если событие произошло и равное нулю – в противном случае.

15 15 Ряд распределения Индикатора События Математическое ожидание и дисперсия индикатора

16 16 Теорема Пуассона При неограниченном увеличении числа независимых испытаний в переменных условиях частота события сходится по вероятности к среднему арифметическому его вероятностей при данных испытаниях

17 Центральная Предельная Теорема Рассматривается вопрос о законе распределения суммы случайных величин, когда число слагаемых неограниченно возрастает

18 18 Теорема Ляпунова Если случайные величины взаимно независимы и имеют один и тот же закон распределения с математическим ожиданием m и дисперсией 2, причем существует ограниченный третий абсолютный момент 3 то при неограниченном увеличении n закон распределения суммы приближается к нормальному.

19 19 Пример 4 Складываются 24 независимых случайных величины, имеющих равномерное распределение на интервале (0, 1). Написать приближенное выражение для плотности распределения суммы этих случайных величин. Найти вероятность того, что сумма будет заключена в пределах от 6 до 8.