Содержание 1. Введение. Базовые понятия 2. Аттракторы 3. Хаос 4. Гомоклинические структуры 5. Дикие гиперболические множества. - презентация

1

2 Содержание 1. Введение. Базовые понятия 2. Аттракторы 3. Хаос 4. Гомоклинические структуры 5. Дикие гиперболические множества 6. Гиперболические и другие аттракторы 7. Приложения

3 1. Введение Исследование устойчивости, изучение роли инвариантных многообразий, анализ геометрической структуры траекторий, поиск инвариантных мер, расчет инвариантных характеристик и т.п. Основная идея – качественное интегрирование Качественная теория

4 Предмет качественной теории – сосредоточенные системы, где Основной результат – теорема локального существования и единственности решений:

5 фазовый поток Таким образом, можно предложить геометрический подход ввести преобразование сдвига, или фазовый поток, Эта функция определена для и

6 Поток при имеет взаимно обратную функцию той же гладкости. система обратима во времени отображением: Если t дискретно,, то динамическая система называется отображением: диффеоморфизмом Если функции f и f 1 гладкие, то такое отображение называется диффеоморфизмом.

7 Пусть – некоторое решение. Каким оно будет при ? СИСТЕМЫ диссипативныеконсервативные грубымструктурно устойчивым Говорят, что свойство динамической системы яв- ляется грубым (или структурно устойчивым), если при малых возмущениях системы оно сохраняется.

8 Диссипация фазовый объем сжимается При t фазовый объем стремится к нулю. аттрактором Это предельное множество называется аттрактором. Как его наглядно представить? 2. Аттракторы 0 t

9 Рассмотрим маятник в среде: Для почти всех начальных условий его конечное состояние – это устойчивое положе- ние равновесия. Это положение словно бы «притягивает» маятник из почти любого начального состояния.

10 M Формально это означает следующее: множество начальных условий A Аттрактор Аттрактор A – это подмножество фазового пространства M такое, что A инвариантно относительно F t ; существует окрестность U A, которая сжимается к A под действием F t, A ; A неразложимо. областью притяжения аттрактора U называется областью притяжения аттрактора A. F tF t

11 Рассмотрим систему: положениями равновесия стационарными точками Точки, в которых, называются положениями равновесия или стационарными точками. Равновесие неустойчивоеустойчивое

12 1 – действительные и одного знака узел устойчивыйнеустойчивый Пример

13 2 – действительные и разных знаков седло 3 фокус неустойчивыйустойчивый Пример

14 4 – чисто мнимые центр устойчивый узел устойчивый фокус Аттракторы:

15 седло-узел неустойчивое многообразие устойчивое многообразие W uW u W sW s W sW s W uW u седло-фокус неустойчивое многообразие устойчивое многообразие W sW s W uW u W sW s W uW u

16 Более сложные аттракторы: предельный цикл γ Маятник с возмущением в среде Несколько маятников тор

17 Седловой цикл: W s и W u – называются устойчивым и неустойчивым многообразиями седлового предельного цикла, соответственно.

18 В отображении Пуанкаре такой цикл отвечает седлу: Сечение Пуанкаре WuWu WsWs

19 Устойчивый узел Устойчивый фокус Аттракторы: Устойчивый предельный цикл Устойчивый тор

20 3. Хаос хаотической Пусть M – метрическое пространство. Система F t : M M называется хаотической, если M F t неустойчиво по отношению к заданию начальных условий ; циклы преобразования F t плотны в M; F t топологически транзитивно.

21 Гиперболические множества Такие множества служат хорошим примером для понимания «устройства» хаотических систем. Определение.

22 W s W u Теорема Адамара-Перрона Теорема о локальных многообразиях (Адамара-Перрона): у гиперболической траектории существуют локальное устойчивое W s и неустойчивое W u многообразия. В сечении:

23 неравномерно гиперболическими Если вдоль траектории γ оценки ухудшаются, т.е. степень сжатия и растяжения в подпространствах E u и E s меняется от точки к точке, то такие множества называются неравномерно гиперболическими. системами Аносова Динамические системы с равномерной гиперболичностью всех траекторий называются системами Аносова.

24 Подкова Смейла

25 канторово множествоподкова Смейла Точки p, которые всегда остаются в S, образуют канторово множество. Это – подкова Смейла: Множество содержит циклы всевозможных периодов ; плотную траекторию; несчетное множество непериодических траекторий. ХАОСХАОС

26 4. Гомоклинические структуры Пусть система имеет седловой цикл с устойчивым и неустойчивым многообразиями: γ W u W s Пересечение и гомоклинической траекторией, отличное от γ, называется гомоклинической траекторией. W s W u

27 Трансверсальное пересечение Грубая Грубая гомоклиническая траектория Γ. W u Ψ Касание многообразий Негрубая Негрубая гомоклиническая траектория Γ 0.

28 Куски устойчивого и неустойчивого многообразий Сегмент гомоклинической траектории

29 Гомоклиническое касание

30 Такие траектории обладают тем свойством, что двоякоасимптотическими Поэтому гомоклинические траектории называются двоякоасимптотическими.

31 Из наличия одной гомоклинической траектории следует существование бесконечного их числа: В исходном пространствеВ сечении Траектория Траектория гомоклинической точки q 0.

32 Рождение подков Рассмотрим малую окрестность U гиперболической точки H : Действие отображения f приводит к тому, что найдутся такие m, n, что и U B S H q положительность энтропии Следствие. Наличие гомоклинической точки влечет положительность энтропии динамической системы. любой малой окрестностисуществует подкова Теорема Смейла-Биркгофа. Если диффеоморфизм имеет гиперболическую точку H и гомоклиническую точку q, то в любой малой окрестности H существует подкова.

33 Системы с гомоклиническими петлями негрубые. Поэтому при возмущениях петли расщепляются, что может приводить к рождению очень сложной динамики. седло-фокус* Среди динамических систем, имеющих гомоклинические структуры, важное место занимают такие, чей аттрактор содержит петлю состояния равновесия типа седло-фокус*: *Седло-фокус неисчерпаем, так же как и электрон. имеются подковы Смейла Теорема Шильникова: в полной окрестности значений парамет- ра, при котором существует петля седло-фокуса, имеются подковы Смейла.

34 U – окрестность точки O: W s делит U на U + и Для достаточно малого U + существует отображение Рассмотрим рождение подковы из седло-фокуса Γ.

35 Отображение преобразует область в «толстую спираль», т.е..

36 Таким образом, горизонтальные полосы на D отображают- ся на полосы, лежащие внутри двух принадлежащих S 1 спи- ралей, закручивающихся вокруг точки q:

37 Существует диффеоморфизм и Существует диффеоморфизм и

38 Таким образом, получим следующую картину: Отображение преобразует исходную полосу D в спираль D 1, которая отображается в D 2 и накладывается на D. подкова Смейла подкова Смейла

39 5. Дикие гиперболи- ческие множества W u W s областями Ньюхауса Системы с касаниями W s и W u плотны в пространстве динамических систем и образуют области, называемые областями Ньюхауса.

40 В зависимости от геометрии, в системе возможны только три различных типа гомоклинических касаний. Для каждого из них структура множества Δ траекторий в малой окрестности негрубой кривой Γ 0 может быть качественно различной. I тип -взрывом Такие диффеоморфизмы отвечают границам, отделяющим системы с простым поведением траекторий от областей с хаосом. При переходе через нее сложная динамика возникает «взрывным» образом. Такое явление называется -взрывом.

41 II тип все траектории, кроме самого касания, – гиперболические Множество Δ траекторий в малой окрестности негрубой кривой Γ 0 в системах такого типа имеет неравномерную гиперболическую структуру, т.е. все траектории, кроме самого касания, – гиперболические.

42 III тип нетривиальные гиперболические подмножества касания третьего класса существуют в окрестности любой системы с гомоклиническим касанием Множество Δ содержит нетривиальные гиперболические подмножества и, следовательно, системы такого типа обладают хаотической динамикой. При этом касания третьего класса существуют в окрестности любой системы с гомоклиническим касанием.

43 Этот результат поясняет следующее построение: Действие отображения f приводит к тому, что для некоторого k точка будет принадлежать w s ( H ). Тогда последова- тельные итерации приведут к пересечению с U и к рождению подковы.

44 При возмущении f(x,a) касания исчезают или появляются пересечения многообразий Происходит качественная перестройка: подковы исчезают если a > 0, то касания отсутствуют и подковы исчезают; подкову при a < 0 отображение имеет трансверсальную гомоклиническую точку и, как следствие, подкову. Происходит качественная перестройка: подковы исчезают если a > 0, то касания отсутствуют и подковы исчезают; подкову при a < 0 отображение имеет трансверсальную гомоклиническую точку и, как следствие, подкову.

45 Допустим, что устойчивое и неустойчивое многообразия имеют квадратичное касание: Допустим, что устойчивое и неустойчивое многообразия имеют квадратичное касание: диких гиперболических множеств При возмущении такой структуры наблюдаются эффекты, связанные с рождением т.н. диких гиперболических множеств – равномерно гиперболических множеств, устойчивое и неустойчивое многообразия которых имеют квадратичное касание, которое невозможно устранить посредством малых гладких возмущений.

46 Теореме Ньюхауса: для общих семейств диффео- морфизмов f(x,a) существуют интервалы, где плотны значения параметра a, при которых f(x,a) имеет гомоклинические касания. При касании многообразий рождаются подковы (Смейла) Канторово множество

47 Пусть L – кривая, проходящая через w u. На этой кривой суще- ствуют канторовы множества Если имеется точка, то она будет точкой касания многообразий. Пусть L – кривая, проходящая через w u. На этой кривой суще- ствуют канторовы множества Если имеется точка, то она будет точкой касания многообразий. Таким образом, для гиперболического инвариантного множества Λ, которое задается диффеоморфизмом f(x,a), устойчивое и неустойчивое многообразия представляют собой произведение канторова множества на отрезок.

48 Чтобы определить возможность пересечения, необходимо использовать метрическую характеристику канторова множества – его толщину d(K) Чтобы определить возможность пересечения, необходимо использовать метрическую характеристику канторова множества – его толщину d(K) отношение длин интервалов, которые в процессе построения выбрасываются, к длинам остающихся промежутков: 0 1 1/32/3 1/92/97/98/9

49 Теорема (Ньюхаус, 1970). Если – два канторо- вых множества, которые удовлетворяют неравенству, то. Теорема (Ньюхаус, 1970). Если – два канторо- вых множества, которые удовлетворяют неравенству, то. Доказательство существования касаний, которые не исчезают при возмущениях, сводится к построению канторовых множеств конечной толщины. Теорема (Ньюхаус, 1979). В пространстве гладких динами- ческих систем существуют открытые области, где плотны системы с гомоклиническими касаниями. области Ньюхауса дикими гиперболическими множествами Это – области Ньюхауса. Сами инвариантные гиперболичес- кие множества, содержащие касания, называются дикими гиперболическими множествами.

50 Сложность динамики систем с гомоклиническими касаниями бесконечно много устойчивых циклов В областях Нюьхауса плотны системы, имеющие бесконечно много устойчивых циклов. счетное множество седловых и абсолютно неустойчивых циклов Здесь существует счетное множество седловых и абсолютно неустойчивых циклов. счетное множество устойчивых и неустойчивых инвариантных торов, сосуществующих со счетным множест- вом седловых, устойчивых и абсолютно неустой- чивых циклов Такие системы имеют счетное множество устойчивых и неустойчивых инвариантных торов, сосуществующих со счетным множест- вом седловых, устойчивых и абсолютно неустой- чивых циклов. бесконечно много устойчивых циклов В областях Нюьхауса плотны системы, имеющие бесконечно много устойчивых циклов. счетное множество седловых и абсолютно неустойчивых циклов Здесь существует счетное множество седловых и абсолютно неустойчивых циклов. счетное множество устойчивых и неустойчивых инвариантных торов, сосуществующих со счетным множест- вом седловых, устойчивых и абсолютно неустой- чивых циклов Такие системы имеют счетное множество устойчивых и неустойчивых инвариантных торов, сосуществующих со счетным множест- вом седловых, устойчивых и абсолютно неустой- чивых циклов.

51 При гладких возмущениях систем с гомоклиническими касаниями могут рождаться циклы произвольно высоких порядков вырождения. Невозможность полного качественного описания моделей со сложным поведением в рамках конечно- параметрического семейства динамических систем экзотическимиявляются типичными Более того, некоторые динамические свойства, которые казались экзотическими, на самом деле являются типичными для систем с гомоклиническими касаниями. ! Негрубые гомоклинические траектории никогда не бывают изолированными.

52 6. Гипреболические и другие аттракторы странным Аттрактор динамической системы называется странным, если он отличен от конечного объединения (гладких) под- многообразий пространства M подчеркивается негладкая структура аттрактора: в некотором сечении он представляет собой канторово множество (фрактал).

53 Странные аттракторы обладают некоторой степенью гиперболичности, однако эта гиперболичность имеет иную форму, нежели равномерная гиперболичность. Такие аттракторы действительно являются сложно устроенными множествами и они не могут быть изучены посредством использования результатов гиперболической теории. счетным числом странных аттракторов подмножества систем, обладающих странными аттракторами В областях Ньюхауса могут быть плотны хаотические системы со счетным числом странных аттракторов. Более того, в окрестности семейства диффеоморфизмов, имеющего гомоклиническое касание устойчивого и неустойчивого многообразий гипреболической точки, могут существовать подмножества систем, обладающих странными аттракторами.

54 Обычно считается, что динамическая система обладает странным аттрактором, если в ее фазовом пространстве имеется предельное множество, состоящее из хаотичес- ких траекторий. При этом хаотичность может быть обеспечена самыми разными критериями: гомо- и гетероклиничностью, фрактальностью, наличием положительного ляпуновского показателя, непрерывностью спектра, бифуркациями удвоения периода и т.п. Понятие «странный аттрактор» имеет собирательный смысл Таким образом, этот термин является скорее парадигмой, чем характеристикой какого-то математического объекта. Таким образом, этот термин является скорее парадигмой, чем характеристикой какого-то математического объекта.

55 гиперболическим аттрактором Множество Λ называется гиперболическим аттрактором динамической системы, если Λ – замкнутое топологически транзитивное гиперболическое множество и существует такая окрестность, что. Структурно устойчивое (грубое) множество Гиперболический аттрактор Смейла-Вильямса

56 Гиперболический аттрактор Плыкина негрубое Аттрактор Лоренца не относится к гиперболическому типу. Это негрубое множество. Аттрактор Лоренца является стохастическим.

57 не Адекватным математическим образом наблюдаемого разви- того хаотического поведения физической системы может слу- жить предложенный Я.Г.Синаем стохастический аттра- ктор. При этом, однако, определение «стохастический» не ассоциируется с наличием в системе внешних случайных возмущений. Этот термин связывается с существованием инвариантной меры. не Адекватным математическим образом наблюдаемого разви- того хаотического поведения физической системы может слу- жить предложенный Я.Г.Синаем стохастический аттра- ктор. При этом, однако, определение «стохастический» не ассоциируется с наличием в системе внешних случайных возмущений. Этот термин связывается с существованием инвариантной меры. стохастическим Аттрактор динамической системы называется стохастическим, если динамическая система обладает перемешиванием. квазистохастическому типу квазиаттракторамисодержат бесконечное множество устойчивых периодических траекто- рий Однако большинство хаотических аттракторов принадлежит к квазистохастическому типу (т.е. они являются так называе- мыми квазиаттракторами). Такие аттракторы содержат бесконечное множество устойчивых периодических траекто- рий. Примеры: аттракторы Рёслера, Чуа и др. в системах ОДУ

58 7. Приложения Бильярды – неравномерно гиперболические системы:

59 Система Дуффинга. В такой системе существуют подковы Смейла.

60 Небесная механика. Здесь тоже существуют подковы Смейла.

61 Нелинейный маятник. Здесь наблюдаются гомо- и гетероклинические структуры. фазовое пространство

62 Основные достижения теории хаотических динамических систем: простые системы могут проявлять случайные свойства доказано, что даже очень простые системы могут проявлять случайные свойства; обосновании эргодический гипотезы Больцмана достигнут значительный прогресс в понимании происхождения случайности в газе твердых сфер и, как следствие, в обосновании эргодический гипотезы Больцмана; решить проблему возникновения необратимости удалось частично решить проблему возникновения необратимости в обратимых детерминированных уравнениях движения; универсальными путями хаос рождается универсальными путями, независимо от природы системы; отличить случайное поведение систем от детерминированного хаоса случайность может быть обусловлена как внутренними свойствами, так и внешними факторами. При этом всегда можно отличить случайное поведение систем от детерминированного хаоса. Основные достижения теории хаотических динамических систем: простые системы могут проявлять случайные свойства доказано, что даже очень простые системы могут проявлять случайные свойства; обосновании эргодический гипотезы Больцмана достигнут значительный прогресс в понимании происхождения случайности в газе твердых сфер и, как следствие, в обосновании эргодический гипотезы Больцмана; решить проблему возникновения необратимости удалось частично решить проблему возникновения необратимости в обратимых детерминированных уравнениях движения; универсальными путями хаос рождается универсальными путями, независимо от природы системы; отличить случайное поведение систем от детерминированного хаоса случайность может быть обусловлена как внутренними свойствами, так и внешними факторами. При этом всегда можно отличить случайное поведение систем от детерминированного хаоса. область исследования, в которой будут открыты новые гармонии Наконец, нельзя не сказать и об эстетической стороне результатов теории хаоса. Как заметил Д.Рюэль, это область исследования, в которой будут открыты новые гармонии.

63