Скачать презентацию
Идет загрузка презентации. Пожалуйста, подождите
Презентация была опубликована 11 лет назад пользователемМария Шалыгина
1 План лекции 1)Интегрирование иррациональных функций 2)Метод интегрирования по частям 3)Интегрирование тригонометрических функций
2 Интегрирование иррациональных функций Квадратичные иррациональности Рассмотрим некоторые типы интегралов,содержащих иррациональные функции. Интегралы типа Называют неопределенными интегралами от квадратичных иррациональностей.Их можно найти следующим образом: под радикалом выделить полный квадрат: и сделать подстановку
3 При этом первые два интеграла приводятся к табличным, а третий – к сумме двух табличных интегралов. Пример1. Найти интеграл: Решение: Так как
4 Пример 2.Найти интеграл : Решение: Выделим полный квадрат : Сделаем подстановку: Тогда:
5 Метод интегрирования по частям Пусть - функции имеющие непрерывные производные.Тогда Интегрируя это равенство, получим : Полученная формула называется формулой интегрирования по частям.Она дает возможность свести вычисление интеграла к вычислению интеграла, который может оказаться существенно более простым,чем исходный. Интегрирование по частям состоит в том,что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в виде произведения двух сомножителей Затем,после нахождения,используется формула интегрирования по частям. Иногда эту формулу приходится использовать несколько раз.
6 Укажем некоторые типы интегралов,которые удобно вычислять методом интегрирования по частям. 1.Интегралы вида где Удобно положить, а за обозначить все остальные сомножители.
7 2.Интегралы вида Удобно положить а за обозначить остальные сомножители.
8 3.Интегралы вида Где - числа. За можно принять функцию Пример 1. Найти Решение:Пусть (можно положить С=0) Следовательно по формуле интегрирования почастям:
9 Пример 2. Найти Решение: Пусть Поэтому
10 Пример 3. Найти Решение: Пусть.Поэтому Для вычисления интеграла снова применим метод интегрирования по частям : Значит, Поэтому
11 Пример. Найти Решение:Пусть. Поэтому
12 Интегрирование тригонометрических функций Интегралы вида Находятся с помощью формул:
13 Пример 1. Найти интеграл: Решение:Воспользуемся формулой Получим: Тогда
14 Пример2. Найти интеграл: Решение: Воспользуемся формулой: Получим: Тогда
15 Пример3. Найти интеграл: Решение: Воспользуемся формулой: Получим: Тогда:
16 Интегралы типа Для нахождения таких интегралов используются следующие приемы: 1)Подстановка если целое положительное нечетное число; 2)Подстановка если целое положительное нечетное число; 3)Формулы понижения порядка: Если целые неотрицательные четные числа; 4)Подстановка если есть четное отрицательное целое число.
17 Пример1. Найти интеграл: Решение: Применим подстановку Т.к.n=5 (1 cлучай). Тогда Получим:
18 Пример 2.Найти интеграл: Решение: воспользуемся формулой:
19 Пример 3. Найти интеграл: Решение:Здесь (4 случай) Обозначим Тогда Получим:
20 Универсальная тригонометрическая подстановка Рассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла от тригонометрическихфункций.Функцию с переменными и,над которыми выполняются рациональные действия (сложения,вычитание,умножение иделение) Принято обозначать знак рациональной функции. Вычисление неопределённых интегралов типа Сводится к вычислению интегралов от рациональной функции подстановкой,которая называется универсальной
21 Действительно, Поэтому Где рациональная функция от.Обычно этот способ весьма громоздкий,зато всегда приводит к результату.
22 На практике применяют и другие,более простые подстановки, в зависимости от свойств ( и вида) подынтегральной функции.В частности,удобны следующие правила: 1)Если функция нечётна относительно Т.е,то подстановка рационализирует интеграл; 2)Если функция нечётна относительно Т.е.,то делается подстановка 3)Если функция четна относительно,то интеграл рационализируется подстановкой.Такая же подстановка применяется,если интеграл имеет вид
23 Пример: Найти интеграл Решение: Сделаем универсальную подстановку Тогда Следовательно
Еще похожие презентации в нашем архиве:
© 2024 MyShared Inc.
All rights reserved.