Основные свойства площадей геометрических фигур. Основные свойства площадей геометрических фигур. Площадь квадрата. Площадь прямоугольника. Площадь параллелограмма. - презентация

1

2 Основные свойства площадей геометрических фигур. Основные свойства площадей геометрических фигур. Площадь квадрата. Площадь прямоугольника. Площадь параллелограмма. Площадь треугольника. Площадь треугольника. Площадь трапеции. ТЕСТ. Список литературы.

3 1. Любая плоская геометрическая фигура имеет площадь. 2. Эта площадь – единственная. 3. Площадь любой геометрической фигуры выражается положительным числом. 4. Площадь квадрата со стороной,равной единице,равна единице. 5. Площадь фигуры равна сумме площадей частей,на которые она разбивается. 6. Равные многоугольники имеют равные площади.

4

5

6 Рассмотрим прямоугольник со сторонами a, b и площадью S( рис. а). Докажем, что S=ab. Достроим прямоугольник до квадрата со стороной a+b, ( рис. б). По свойству «Площадь квадрата равна квадрату его стороны» площадь этого квадрата равна (a+b) 2. С другой стороны этот квадрат составлен из данного прямоугольника с площадью S, равного ему прямоугольника с площадью S (равные многоугольники имеют равные площади) и двух квадратов с площадями a 2 и b 2. По свойству «Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников» имеем: (a+b) 2 =S+S+a 2 +b 2, или a 2 +2ab+b 2 =2S+a 2 +b 2. Отсюда получаем: S=ab а) б)

7

8 Рассмотрим параллелограмм ABCD с площадью S. Примем сторону AD за основание и проведем высоту BH и CK. Докажем, что S=AD*BH. Докажем сначала, что площадь прямоугольника HBCK также равна S. Трапеция ABCK составлена из параллелограмма ABCK и треугольника DCK. С другой стороны, она составлена из прямоугольника HBCK и треугольника ABH. Но прямоугольные треугольники DCK и ABH равны по гипотенузе и острому углы ( их гипотенузы AB и CD равны как противоположные стороны параллелограмма, а углы 1 и 2 равны как соответственные углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей AD), поэтому их площади равны. Следовательно, площади параллелограмма ABCD и прямоугольник HBCK также равны, т. е площадь прямоугольника HBSK равна S. По теореме о площади прямоугольника S=BC*BH, а так как BC=AD, то S=AD*BH.

9

10 Пусть S- площадь треугольника ABC. Примем сторону AB за основание треугольника и проведем высоту CH. Докажем, что S=0,5*AB*CH. Достроим треугольник ABC до параллелограмма ABCD. Треугольники ABC и DCB равны по трем сторонам (BC- общая сторона, AB=CD и AC=BD как противоположные стороны параллелограммаABCD), поэтому их площади равны. Следовательно, площадь S треугольника ABC равна половине площади параллелограмма ABCD, т.е. S=0,5*AB*CH.

11

12 Пусть в треугольнике ABC BC=a, CA=b и S – площадь этого треугольника. Докажем, что S=0,5absinC. Введем систему координат с началом в точке С так, чтобы точка В лежала на положительной полуоси Сх, а точка А имела положительную ординату. Площадь данного треугольника можно вычислить по формуле S=0,5ah, где h – высота треугольника. Но h равна ординате точки А, т. е. h=bsinC. Следовательно, S=0,5absinC.

13

14 Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и BC, высотой BH и площадью S. Докажем, что S=0,5*(AD+BC)*BH. Диагональ BD разделяет трапецию на два треугольника ABD и BCD, поэтому S=S ABD +S BCD. Примем отрезки AD и BH за основание и высоту треугольника ABD, а отрезки BC и DH 1 за основание и высоту треугольника BCD. Тогда S ABD =0,5*AD*BH, S BCD =0,5*BS*DH 1. Так как DH 1 =BH, то S BCD =0,5*BC*BH. Таким образом, S=0,5*AD*BH+0,5*BC*BH=0,5*(AD+BC)*BH.

15

16

17

18

19

20

21

22

23 st/tes9/test9.htm Геометрия, 7-9: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.- 14-е изд. – М.: Просвещение, с.: ил..

24

25